Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
содержит членов, линейных относительно какой-либо скорости p'd, то для
любого индекса d имеем
<28|>
а из уравнения (272) следует для любого индекса d:
|7 = °- <282>
Из этих уравнений, если отвлечься от особых случаев, определяются
координаты ра как функции рс и р'с. Если подставить найденные таким путем
значения ра в выражение для Я, то получим функцию от рс и р', которую мы
обозначим через (c). Функция § не должна быть непременно квадратичной
функцией р', эти величины могут входить в функцию § любым образом, однако
она должна быть четной функцией величин р'. Тогда получим:
Э§ 3Н . -г, 3Н дра Э§ 3Н . 3Н дра
дрс Эрс а дРс ' dpc др'с дра др'с '
отсюда на основании уравнений (281) и (282)
д§__дН_ д& = 3 н
дрс ~~ дрс ' др'с ~~ дрс '
и уравнения Лагранжа для координат рс сохраняют свою форму, если в них
вместо Я подставить §. Если в силу уравнений связей некоторые скорости
оказываются исключенными из выражения для Я, то соответствующую задачу
Гельмгольц называет неполной, ибо она ограничивается отысканием только
таких движений, которые допускаются этими уравнениями связей.
Если подыскивать механические аналогии физических явлений, то нельзя
заранее знать, какие переменные должны соответствовать координатам и
какие - скоростям. Но в физике почти всегда энергия определяется
экспериментально как функция некоторых переменных. Поэтому полную
механическую задачу можно тогда использовать в качестве аналогии
физического процесса, если определенное экспериментальное выражение для
энергии есть однородная квадратичная функция некоторых переменных,
которые в этом случае следует считать аналогичными скоростям. Если же мы
в качестве аналогии берем неполную механическую задачу, то остается
открытым вопрос о том, какие из физических переменных поставить в
параллель со скоростями и какие - с координатами, так как и те и другие
могут содержаться в выражении для энергии в любой форме.
336.
А. ПУАНКАРЕ
ОТРЫВОК ИЗ ТРЕТЬЕГО ТОМА "НОВЫХ МЕТОДОВ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ" [174] .
Глава XXIX Различные виды принципа наименьшего действия
Пусть
*1> Х2> • • • ! Хт Уц • • • ; Уп
- две группы переменных, a F - некоторая функция этих переменных.
Рассмотрим интеграл
U
Вариация этого интеграла может быть написана так:
6J == J (-"5F + 2 ду, - 2yt dt.
Для того чтобы эта вариация равнялась нулю, нужно прежде всего иметь
[175]
dx j _ dF dyi dF . .
dt dyt ' dt dxt ' ' *
что дает нам канонические уравнения. Но это условие не является
достаточным. Если оно выполнено, то имеем
*/= 2 [у,
но нужно, кроме того, чтобы правая сторона этого равенства была равна
нулю. Так именно и будет, если предположить, что дх,- равны нулю на обеих
границах, т. е. что начальные и конечные значения х,- заданы. При этих
условиях интеграл J, который мы называем действием, есть минимум.
Возьмем другие переменные, и пусть х\ и у' - эти новые переменные;
предположим, что они выбраны так, чтобы выражение
2 У\dx't - 21 У; dxi = dS (2)
было полным дифференциалом.
В этом случае мы видели, что изменение переменных не изменяет
канонического вида уравнений, и результат этот, впрочем, явится
немедленным следствием различных предположений, которые изложены далее;
пусть
тогда
/ = ..('Г f + х я-#)<#•
^9
498
А. ПУАНКАРЕ
Имеем
J'-J = !iJ§-dt = s1-s0,
dt
где S0 и являются значениями функции S при t = t0n t = tt. Таким образом,
V = (3)
Если канонические уравнения (1) удовлетворены, то
Ц= + [Уу1*х1},12'11 (4)
и, следовательно, согласно (2) и (3)
Ч' = + (4bis)
Но подобно тому ^ак соотношение (4) эквивалентно уравнениям (1),
соотношение (4 bis) эквивалентно уравнениям
dx[=dF_ dy[^_JF_
dt dy\ ' dt dx't • '- l ;
Итак, мы видим, что выражение (4) эквивалентно (4bis), уравнения (1)
эквивалентны уравнениям (Ibis), а это означает, как мы уже знаем, что
замена переменных не изменяет канонического вида уравнений.
Отсюда следует, что действие J' будет минимумом, если предположить, что
начальные и конечные значения переменных х\ заданы. Таким образом, каждой
системе канонических переменных соответствует новый вид принципа
наименьшего действия.
Уравнения (1) приводят к интегралу живых сил
F = Л, (5)
где Л есть постоянная.
Мы предполагали до сих пор, что обе границы t0 и tx заданы; что же
произойдет, если эти границы рассматривать как переменные? Так как F не
зависит явно от времени, то мы не ограничим общности, допустив, что t0
есть постоянная, и дав только tT приращение 6tv Примем, например, t0 = О
и допустим, что после вариации переменные х, и у, имеют в момент ~ (fx +
dtj)
*1
те же значения, которые они имели в момент t до вариации.
До вариации имеем
J=-ht1 + 2J^yi^fdt,
но j у,- dt = j у, dXj от времени не зависит и, значит, его вариация
равна нулю. Таким рбразом, имеем просто
6J = - Л Мх.
Производная действия J по верхней границе интегрирования tx равна
постоянной энергии Л с обратным знаком.
Если эта постоянная есть нуль, то действие J опять-таки есть минимум,
