Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
494
Л. БОЛЬЦМАН
Для получения § 113 функции Н мы выразили входящие в эту функцию величины
р'ь посредством уравнений (274) через ph и р'н. Поэтому
Эф _ ЭН " ЭН_ _ др^ = эн. (r) 8/У _ Эрл
ЭPh dpn Эр" Эрл ' Эр/, Эр* Эр" Эрл '
или, на основании уравнений (274),
ЭН Эф ^ а ^ ^ л QPft
ЭРн Эол ¦" (tm) Эрл ' Эрл Эрл j-j (tm) dph
Если здесь положить
то получается
Н' = $-2ЯьР'ь, (275)
Л= I
ЭН' ЭН ЭН' эн
Эрл Эрл ' Эр'л Эрл
Здесь предполагается, что в Я' величины рл исключены при помощи урав-
э н ъы
нений (274), но при образовании производных и величины р'ь считаются
постоянными. Поэтому общее уравнение движения (272), если предположить,
что величины р'ь выражены посредством уравнений (274) через ph и рл,
принимает для каждого ph такую же форму:
<276)
Стало быть, достаточно вместо Н поставить величину Н', в которой величины
р'ь мыслятся выраженными с помощью уравнений (274) в функции рн и рл, так
что Н' в общем случае является неоднородной квадратичной функцией величин
p'h.
В качестве примера мы рассмотрим еще раз задачу из области теории
вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, уже изложенную в § 22.
Пусть твердое тело может вращаться вокруг неподвижной точки. Его
эллипсоид инерции для этой точки есть эллипсоид вращения.
Мы примем те же обозначения, что и раньше, и пусть опять ось ОС совпадает
с осью вращения эллипсоида инерции.
Тогда переменная В удовлетворяет условиям, которые мы теперь наложили на
координаты, обозначенные через рь. Если, стало быть, обобщенная сила,
соответствующая параметру В, все время равна нулю, то согласно уравнению
(274)
эн эн э т
dpi ~ \дВ' эВ' const-
Если обозначить эту постоянную через -vj,- то из третьего уравнения (121)
[ш] следует:
сА' -В' = v
в соответствии с уравнением (124). Если посредством этого уравнения
исключить В' из выражения (123) для Т, то мы получим
Н^Т=~ (у2 А'2 + С'2) + ^ *2 • (277)
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
495
В последних наших расчетах F является силовой функцией внутренних сил
системы, а следовательно, так как в данном случае системой является одно
твердое тело, то F равняется нулю. Сила тяжести или вообще силы 21 и 6
рассматриваются как внешние силы и содержатся в другой части силовой
функции ^ tyhPh [уравнение (220)]. Н здесь постоянно и равно Т - F,
h= 1
а не Г - V, как ранее в этой книге.
Выражение (277) есть то, что мы в уравнении (275) обозначили через Из
этого уравнения следует
Н' = § + vJB = - J (у2 А'2 + С'2) + vJcA', (278)
V2
где постоянная -у-у опущена как излишняя. Из этой величины Н' должны
быть получены обобщенные силы 21 и (c), соответствующие параметрам Л и С,
при помощи уравнений, которые имеют в точности форму уравнений Лагранжа.
Следовательно,
or d ( ЬН' ) 3Н' гг- d ( 3Н' ^ 3Н' / о п с\ \
Ш==щ(wj- аГ' с - (279>
Путем подстановки значения (278) для Н' получаем из этих уравнений
21 = JL (G у2 А' - vjc), (c) = G(C" - су А'2) + JvyA'. (280)
Уравнения (279) имеют точно форму уравнений Лагранжа, но Н' теперь
содержит также члены первой степени относительно скоростей. Движения не
могут происходить точно в обратном порядке. Маятник, с которым соединен
вращающийся волчок, имеет (как мы это уже видели в § 22) для колебаний,
при которых его центр тяжести движется по кругу, разные периоды колебаний
для одного и для другого направлении обращения, в то время как волчок
вращается в одну и ту же сторону. Совершенно аналогично этому потенциал
электрических токов, если имеются постоянные магниты, содержит члены,
линейные относительно сил тока или скоростей. От этого обстоятельства
зависит электромагнитное вращение плоскости поляризации света. Эта
поразительная аналогия, разумеется, не служит доказательством того, что
при только что упомянутых физических явлениях действительно играют роль
скрытые вращательные движения. Но эта аналогия может быть самым
естественным образом объяснена этой гипотезой и указывает во всяком
случае на то, что сравнительное изучение обоих родов явлений обещает
объяснение дальнейших фактов. Движение твердого тела, рассматриваемое в
описанном примере, является, между прочим, чистым моноциклом, если силы
21 и (c) имеют как раз такие значения, что А и С меняются очень медленно в
сравнении с В, в противном случае это - смешанный моноцикл.
К случаю, когда Н является еще более сложной функцией скоростей,
Гельмгольц подходит следующим образом. Пусть выражение живой силы состоит
из двух слагаемых, из которых одно содержит только некоторые определенные
скорости р'с, а второе - только остальные скорости p'd, так что
Эре 3 p'd
496
Л. БОЛЬЦМАН
Так как F вовсе не содержит скоростей, то отсюда следует также
-^- = о
3Рс dPd
Кроме того, каждая из обобщенных сил, соответствующих координатам pd,
равна нулю, т. е. = 0. Здесь и в дальнейшем уже нет речи о циклических
движениях.
Во всяком случае возможны такие движения системы, для которых все ра
исчезают, а потому все ра остаются все время постоянными. Так как Я не
