Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
известны строение системы п + п' точек, силовая функция F, а также
движение точек, т. е. все их координаты известны в функции времени, и
поставить вопрос о том, какие обобщенные силы Рь соответствуют
циклическим координатам и какие силы соответствующие обычным координатам,
должны быть присоединены к силам, имеющим силовую функцию F, чтобы
вызвать заданное изменение координат во времени. Тогда для циклических
координат должны иметь место уравнения (254), т. е.
Для любого индекса b или h должно быть
дН дт /0"QV
W = W = q- (273>
Искомые силы Рь и как и раньше, мы будем предполагать исходящими от
каких-либо внешних материальных точек (v точек), которые, впрочем, в
дальнейшем нас занимать не будут. Эти силы, если параметры р
заданы
в функции времени, также могут быть определены как функции времени
из
уравнений (271) и (272), иначе говоря, может быть дан ответ на вопрос о
том, какие внешние силы Рь и должны быть в каждое данное мгновение
присоединены к силам, обусловленным силовой функцией, чтобы вызвать
заданное движение.
Понятно, что уравнения (271) и (272) существуют совершенно независимо от
того, какие величины в них рассматривают как заданные и какие являются
искомыми. Эти уравнения также справедливы и в том случае, если Рь и $h
заданы как функции времени и даже если они заданы как функции координат,
скоростей или вообще любых переменных величин и если поставлена
(271)
для обычных координат - обыкновенные уравнения Лагранжа
(272)
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
493
задача определить движение (т. е. найти р при заданных начальных
значениях р и р'). В этом последнем случае и левые части уравнений (271)
и (272) содержали бы искомые неизвестные. Более того, в сущности
совершенно безразлично, какие силы мы относим за счет силовой функции как
внутренние и какие причисляем к как внешние; безразлично, относим ли мы
тела, от которых исходят известные силы, к системе или рассматриваем их
как не принадлежащие системе, нужно только при этом оставаться вполне
последовательным. Так, например, Гельмгольц в электродинамике относит
электрическое сопротивление к $ только потому, что оно порождает
необратимые процессы. Мы, однако, для большей наглядности будем всегда
представлять себе, что функция F и движение заданы и что вопрос ставится
о силах Рь и необходимых для осуществления движения.
Уравнения в форме (272) должны занять место уравнений (252) и (254), если
мы хотим теорию циклов, изложенную в §§ 49-51, развивать без всяких
упрощающих допущений или, вообще, если мы хотим решить вопрос о том, как
должны меняться с течением времени медленно изменяющиеся параметры под
действием заданных сил $а. В самом деле, если мы хотим получить ответ на
этот вопрос, то, очевидно, нельзя пренебрегать величинами ра и р"а. В
уравнениях же (271) и (272) нет более места указанным упрощающим
допущениям, ибо условие, что циклические координаты входят в выражения
для Т и F только под знаком производной, осуществляется не только
приближенно, а совершенно точно.
Уравнение (272) имеет форму, указанную в начале § 34, которая получается,
если в общем уравнении Лагранжа (50) [171] положить л = 0, а функции V
придать вид (220) [172].
Предположим сначала, что все Рь равны нулю, так что циклические движения
протекают адиабатически. Тогда согласно уравнениям (271) величины
(274)
все время остаются постоянными. Если значения этих постоянных заданы, то
с помощью а уравнений (274) можно исключить а величин р'ь из Т, а
следовательно, и из И. Но так как в уравнении (274) есть члены,
содержащие р' в первой степени, а также члены, свободные от р', то после
произведенного исключения Т будет квадратичной функцией остальных р' (а
именно р^), но эта функция уже не будет однородной, а будет иметь члены,
линейные относительно p'h, и один член, совершенно свободный от них.
Тогда также и величина §, которая получается из Я после исключения
величин р'ь посредством уравнений (274), содержит члены, линейные
относительно p'h.
Примером могла бы служить система, которая содержит тело, вращающееся без
трения и без (других) сопротивлений вокруг одной из его главных осей
инерции как маятник, который мы рассматривали в § 22. Угол, производная
по времени от которого определяет угловую скорость вращающегося тела,
является соответствующей координатой рь; далее, нужно было бы
предположить, что силы прилагаются всегда только к обоим концам валов,
так что всегда отсутствует момент, ускоряющий или замедляющий вращение.
Максвелл пользуется образом вращающегося тела, подчиненного такому
условию, для того чтобы объяснить магнетизм внутри элемента объема эфира,
и разъясняет этим тот факт, что электромагнитная энергия эфира содержит
члены, линейные относительно сил тока, тогда как чисто
электродинамическая энергия является однородной квадратичной функцией сил
тока. Силы тока Максвелл рассматривает как скорости изменения циклических
координат.
