Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
ременной или зубчатой передачи соединено с вращающимся маховиком
бесконечной массы или с твердым телом, угловая скорость которого
поддерживается строго постоянной; физические аналогии дает нагретое тело,
соединенное посредством хорошего проводника тепла с бесконечным запасом
тепла, электрический проводник, на концах которого поддерживается
постоянная разность потенциалов (соединен клеммами с источником питания),
в электростатике -заземленное тело, что Гельмгольц обозначает как
соединение с землей, с запасом тепла и т. д.
В уравнении (254) частные производные должны пониматься таким образом,
что pj, поддерживаются постоянными, так что изменения состояния
происходят изоциклически. Мы будем, как это делалось в § 9, отмечать
символы частных производных, при образовании которых р'ь рассматриваются
как постоянные, индексом р'; такие же, при образовании которых
постоянными считаются qb, - индексом q.
Поэтому можно сказать: Н есть силовая функция обобщенных сил *ра,
соответствующих параметрам ра, для изоциклического изменения состояния; в
термодинамике ей соответствует изотермический термодинамический
потенциал; при каждом изоциклическом движении величина
представляет собой энергию, подведенную к циклу при изменении параметров
ра силами действующими на цикл (т. е. энергия подводится в форме внешней
работы). Так как все приращение энергии составляет
dE = dF + dT,
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
489'
то отсюда следует, что
dQ = 2dT,
т. е. циклически подведенная энергия равна удвоенному приращению
кинетической энергии.
На основании уравнения (63) [169] имеем
дqT_ _ __ др'Т ' 3ра ~ дра '
откуда
ЬЧЕ_ _ _ 3р-Н Зра 3Ра
Поэтому первое из уравнений (254) можно также представить в виде
Внешние силы можно поэтому назвать также адиабатическими частными
производными от Е по координатам ра, а -Е - адиабатической силовой
функцией. Таким образом, при адиабатическом движении вся энергия,
подведенная к системе путем внешней работы, равна dE, т. е. равна общему
приращению энергии, что само собой понятно, так как в этом случае внешняя
работа является единственным источником притока энергии.
Применяя доказанную теорему о том, что как при адиабатическом, так и при
изоциклическом изменении состояния внешние силы имеют силовую функцию, мы
в теории теплоты получаем следующее предложение: Если нагретое твердое
тело любыми приложенными к нему внешними силами деформируется
адиабатически или изотермически, а в остальном произвольным образом, то
работа деформации всегда является полным дифференциалом, как если бы
внешние силы уравновешивались силами, исходящими от покоящихся
материальных частиц. И это имеет место несмотря на то, что частицы тела
находятся в оживленнейшем тепловом движении.
§ 52. Взаимные зависимости Герца
1. Пусть в одном случае состояние цикла меняется медленно
адиабатически так, что только один параметр ра увеличивается на dpa\ в
другом случае-та к, что только параметр ра, получает приращение dpa>.
Пусть в первом случае обобщенная внешняя сила <ра,, соответствующая
параметру ра,, получает приращение d^a,, во втором случае внешняя сила
соответствующая параметру ра, получает приращение d%a; тогда будем иметь
соотношение
ау>а' _ d^g . dpa dpa' '
то же самое имеет место и тогда, когда все движения происходят
изоциклически. Мы можем относящиеся к обоим случаям соотношения записать
более точно так:
Э|jtyg ^ 3p'ffia' Эр-^Sa
3 Ра дРа' дра дРа'
Доказательство непосредственно вытекает из уравнений (254) и (265), т. е.
из того обстоятельства, что внешние силы как при адиабатическом, так и
при изоциклическом изменении состояния обладают силовой функцией.
490
Л.БОЛЬЦМАН
2. Из уравнений
m 9 F даТ 3F " ,9 Т
" 9Ра дра ' 9 дь ~ Рь ~ 9 qb
(последнее получено на основании уравнения (60) [10]) следует:
Э^а _ _ 9др'ь
9 qb дра
(266)
Предположим, что приращение dqb циклического импульса qb при сохранении
остальными q и всеми параметрами постоянных значений вызывает приращение
d^a обобщенной силы $а, соответствующей параметру ра; предположим, далее,
что адиабатическое приращение dpa параметра ра при постоянстве всех
прочих параметров вызывает приращение dpb циклической скорости р'ь; тогда
dp'b и d^a имеют противоположные знаки, а отношения приращенйй dqb и dpa,
рассматриваемых как причины, к соответствующим изменениям dtya и dpb,
рассматриваемым как следствия, равны между собой по абсолютному значению
(как говорит Герц, отношения следствия к причине в обоих случаях равны).
Поэтому в этих условиях
= (267)
dqb dpa 4 '
Так как для моноцикла приращения dpb и dqb должны быть одного знака, то
для моноцикла имеет место также следующее предложение: Если увеличение
циклической скорости р' при постоянстве параметров увеличивает обобщенную
силу по какому-либо параметру ра, то адиабатическое приращение этого
параметра при постоянстве остальных должно уменьшить циклическую скорость
р'.
3. Пусть сила вызывает входящее в уравнение (267) приращение dqb в
