Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
вообще говоря, не является интегрирующим делителем для dQ, так как при
возвращении в точности к прежнему состоянию системы, вообще говоря, не
повторяются прежние пределы интегрирования, поскольку пределы опять
изменяются таким образом, чтобы последний член в уравнении (223) исчезал;
однако и в этом случае можно доказать, что величина Т должна быть
интегрирующим делителем, если только вообще для dQ существуют
интегрирующие множители.
Пусть будет вообще
dQ = М • dN,
Т и ра мы принимаем за независимые переменные.
Согласно только что доказанному, если все ра, за исключением одного,
постоянны, величина Т должна быть интегрирующим делителем для dQ;
поэтому, если g - один из индексов a, a dag - дифференциал,
соответствующий множителю Т, то прежде всего мы имеем
ний а и - определяются все скорости, так что в случае, когда мы имеем
перед собой подлинный цикл, оказывается известным полностью его доступное
наблюдению состояние, однако заданием значений а и s нельзя определить
положение всех точек системы; стало быть, а и s не являются голономными
обобщенными координатами.
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
487
м
Это уравнение должно быть справедливо для всех комбинаций значений,
предполагаемых постоянными, переменных рь р2, ..., pg_1; pg+1, ...
Поэтому, если М и N даны, то отсюда ag определяется с точностью до
выражения, содержащего все только что упомянутые переменные. То же самое
имеет место также и для любого другого из индексов а, например для Л;
тогда таким же образом мы получаем
1г+ J^a) = Г+ ¦(/>")¦ (258)
причем, естественно, тождественность ag и ah еще не установлена. Из этого
уравнения, а также из уравнения (257) непосредственно следует
ЭГ - ЭГ * v>
Поэтому величины ag и ah могут отличаться одна от другой лишь на
величину, которая не содержит Т, а содержит только ра. Положим
<xg = <х + 77g, oh = o-\-lTh,
где П не являются больше функциями Т; тогда из уравнения (257) следует:
мъг = тж <260>
"261>
для всякого значения g; отсюда, далее, вытекает^
dQ =[М dN = Т (dor'-t- 2 ^ dpg) , (262)
где суммирование распространяется на все возможные значения индекса g.
Так как по положению dQ имеет интегрирующий множитель, то этот
дифференциал должен иметь интегрирующий множитель и в том случае, если
все ра, кроме двух, например р" и ph, считать постоянными. Если теперь
разделить дифференциал dQ на Т, то получим
9ff А'Г I ( э<т I dilg \ , ( да , 'ЭПн 'I dQ /qcq\
;ЭГ dT + 1 dpg + dpg )dPg+ [ dpn + dpn ) Ph T (263)
Согласно сказанному и это дифференциальное выражение должно иметь
интегрирующий множитель. Если записать известное условие этого, то можно
видеть, что из него следует либо
- = 0 дт и '
либо
_gg"_ = .8,g" /264)
9 Pgdpn dpsdph ^ ;
для любых пар значений g и Л. Первое уравнение никогда не может быть
удовлетворено, так как иначе при сохранении постоянства ра для увеличения
живой силы не нужно было бы никакого притока энергии. Поэтому должны
о л
иметь место уравнения (264), из которых следует, что 2 dpg есть полный
дифференциал функции П переменных ра, и следовательно,
dQ = T-d(a + n).
488
Л. БОЛЬЦМАН
§ 51. Адиабатическое и изоциклическое движение
-Если для какого-либо цикла все Рь равны нулю, тогда как имеют значения,
отличные от тех, которые определяются уравнениями (252) и (249), так что
параметры ра медленно изменяются, то движение называется адиабатическим.
Тогда из уравнений (254) вытекает, что импульсы qa, отнесенные к
циклическим координатам, все должны быть постоянными. Однако иногда
циклические скорости вследствие медленного изменения параметров будут
также медленно изменяться. Если же силы Рь в течение медленного изменения
параметров постоянно имеют такие значения, что ph остаются совершенно
неизменными, то движение называется изоциклическим.
Примером адиабатического движения служит вращающееся вокруг своей оси
тело вращения или описанная в § 44 в качестве примера 3 центробежная
модель, если никогда не появляется вращающий момент относительно оси
вращения. С другой стороны, центробежная модель совершает изоциклическое
движение, если ее угловая скорость поддерживается постоянной
соответствующими силами $6, приложенными к кривошипу, хотя подвижная
масса т то медленно приближается к оси вращения, то медленно удаляется от
нее.
Физические аналогии с адиабатическим движением представляют нагретые
тела, при изменении состояния которых тепло и не подводится к ним и не
отнимается у них (отсюда термин "адиабатический" также и в применении к
аналогичным движениям механических циклов), электрические цепи при
постоянных электродвижущих силах, движущиеся проводники, статически
заряженные постоянными количествами электричества. Соответствующие
физические процессы делаются аналогичными изоциклическим движениям, если
температура нагретых тел, сила электрического тока в цепях, потенциал
электростатически заряженного проводника поддерживаются постоянными. При
вращении твердого тела движение делается изоциклическим, если тело путем
