Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
предполагаются раз навсегда закрепленными в пространстве; эти точки мы
будем называть неподвижными материальными точками. Впрочем, как и раньше,
они могут быть причислены к л материальным точкам. Все эти силы, как
происходящие от Взаимодействия л точек, так и от действия имеющихся
неподвижных точек, мы будем называть внутренними силами; они во всяком
случае должны иметь склерономную силовую функцию, которую мы опять
обозначим через F. Таким образом, все проис-
3 F
ходящие отсюда составляющие сил Ра будут равны -.
К этим силам, для того чтобы ра оставались постоянными, вообще говоря,
должны быть присоединены еще другие силы, которые мы обозначим через и
будем называть внешними обобщенными силами. Материальные точки, от
которых исходят эти силы, соответствуют v материальным точкам §§ 45-47, и
мы опять их назовем v точками. Эти точки рассматриваются как внешние по
отношению к рассматриваемой системе.
Если в точности pl = Ра = 0, т. е. циклическое движение вполне
стационарно, то и положение v материальных точек остается неизменным и
должно быть таким, чтобы в точности соблюдалось равенство
Это соответствует тому, что мы в §§ 45-47 назвали неварьированным
движением. Если теперь, в теории циклов, опять положить
(249)
где
(250)
(252)
T-F = H, T + F = E,
(253)
31*
484
БО ЫДМАН
где буквы Я и Е имеют те же значения, что и в §§ 45-47, но несколько
отличные от того значения, которое им придается в других разделах этой
книги, то уравнения (249) и (252) можно написать также в форме:
Если медленно изменяющиеся параметры и значения рь будут медленно
меняться, то должны немного отличаться от тех значений, которые им
придаются этими уравнениями, а величины Рь должны быть немного отличными
от нуля. Эти последние силы тогда будут соответствовать тем силам,
которые в §§ 45-47 мы назвали добавочными силами; это наименование мы
сохраним за ними и теперь. Энергия, подведенная этими силами как
циклически подведенная энергия, соответствует подведенному количеству
тепла в теории теплоты.
Медленное изменение, которое циклическое движение претерпевает благодаря
добавочным силам, а также вследствие того обстоятельства, что силы,
исходящие от v точек, не имеют в точности значений, определяемых
уравнениями (252), соответствует тому, что в §§ 45-47 мы назвали
вариацией движения. Впрочем, теперь нет необходимости рассматривать
постепенное изменение стационарного циклического движения, вызванное
медленным движением v точек и действием добавочных сил, как проблему
вариационного исчисления и особо отмечать символом <5 соответствующие
приращения. Теперь можно это постепенное изменение состояния
рассматривать как обычное движение, происходящее с течением времени под
действием добавочных сил и изменения положения v точек. Это особенно
напрашивается при подлинных циклах, у которых неварьированное движение не
представляет собой видимого изменения состояния, так что ощутимые
временные изменения появляются только при медленном варьировании
движения.
Значения Т, V и т. д., соответствующие любому моменту времени
неварьированного движения, для циклов совпадают со средними значениями Т,
V и т. д. тех же величин для неварьированного движения. Совершенно
безразлично, в какой момент времени неварьированного движения начинается
варьирование, носящее характер механического движения под действием
заданных сил; оно может продолжаться сколь угодно долго, привести
постепенно к конечному изменению и окончиться в любое время. Если в
какой-либо его фазе внезапно оказывается р"ь = р'а = 0, тотчас получается
соответствующее этой фазе неварьированное движение.
Здесь ясно обнаруживается, каким образом рассмотренная в начале этой
книги вариация может постепенно приблизиться по своему характеру к
обычному, происходящему во времени движению, при котором, однако, одни
координаты изменяются много быстрее, а другие -¦ много медленнее.
Мы сохраним все же для этих изменений циклических движений, наступающих
постепенно с течением времени, по-прежнему название вариаций. Уравнения
движения для изменений ра, которые появляются от того, что
имеют значения, не равные в точности тем, которые заданы уравнениями
(252) и (254), мы напишем только в § 53.
Работа, которая при варьировании циклических движений производится за
время dt силой Рь, согласно уравнению (249) выражается так:
(254)
§ 50. Интегрирующий множитель для дифференциала циклически подводимой
энергии
dQb = Рь dpb = Рь р'ь dt = р'ь dqb.
(255)
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
485
Сумма dQ всех dQb выражает работу, совершенную всеми силами Рь
(циклическими или добавочными), работу, которую мы назвали циклически
подводимой энергией и которая аналогична подводимому теплу.
В случае, когда система является моноциклом и единственная циклическая
переменная обозначается через р без индекса, мы получаем
dQ = р' dq,
или, так как Т = p'q,
Таким образом есть полный дифференциал, a In q является энтропией.
