Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
может происходить с большей или меньшей скоростью, v точек должны
двигаться бесконечно медленно, но совершенно равномерно, так что за
конечный промежуток времени t±-10 они проходят только очень малые пути,
почему мы и назвали величины, выражающие их влияние на движение, медленно
изменяющимися параметрами.
Если обозначить через 6VQ работу, которую должны были бы совершить v
точек против сил, имеющих силовую функцию Q, если бы все перемещение v
точек произошло в момент времени t, то при рассматриваемом теперь
постепенном перемещении v точек в течение времени dt совершается работа
8vQdt . гь л.
~--, причем приращение bvu различно для различных фаз движения *1
и поэтому является функцией от t. Таким образом, вся работа, совершенная
в течение времени -10 v точками против сил, обладающих силовой функ-
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
479
циейД в случае постепенного перемещения v точек равна
^1
<5 J3 = T^j- §dvQdt. (245)
1 0 и
Допустим, что при этом действуют также подобранные подходящим образом
добавочные силы, которые вместе с перемещением v точек преобразуют
неварьированное движение в варьированное, так что в момент /0
материальные точки движутся еще так, как это соответствует
неварьированному движению в этот момент времени, тогда как в момент
времени + <5(х они движутся в точности так, как им положено двигаться в
варьированном движении в этот момент времени (момент времени tx + в
варьированном движении соответствует конечному моменту неварьированного
движения). Тогда добавочные силы должны к п материальным точкам подвести
энергию
и tv
dQ = dT + дполн V - [d,Qdt = /(ЙГ + dV) dt. (246)
1 ° /" ° /.
Когда именно в течение промежутка времени - f0 и каким образом
подействуют добавочные силы, здесь совершенно безразлично, лишь бы в
конечном итоге получалось в точности варьированное движение. Ибо, если
полный прирост энергии п точек и полное перемещение v точек, а таким
образом и отданная наружу энергия те же самые, то этим определяется и
энергия, подведенная добавочными силами*).
Но дТ + 8V есть та же самая величина, которая в формуле (223) § 36 была
обозначена через 8Е и, поэтому из уравнения (246) получается:
(fi - t0) dQ = 2d f Т dt - v (ql dpi - qt dpi). (247)
u ft= l
§ 48. Рассмотрение периодических движений
Если неварьированное и варьированное движения - периодические, то можно
легко представить себе все три движения, о которых шла речь в предыдущем
параграфе, а именно неварьированное, варьированное и движение,
представляющее собой постепенный переход от первого ко второму,
осуществленными во времени последовательно одно за другим.
Пусть i есть период неварьированного, i + Ы - варьированного движения;
тогда можно положить ^ = t0 + i, 8^ = 81. Представим себе, что сперва
происходит несколько раз в течение времени i неварьированное движение,
затем в течение времени i (или 2г, Зг) v точек медленно переме-
*) Если система - подлинно циклическая, т. е. когда в неварьированном
движении на место каждой массы, покидающей свое место, тотчас же вступает
другая, совершенно такая же масса с Численно равной и одинаково
направленной скоростью, причем v точек на последнюю массу действуют
совершенно так же, как и на первую, что имеет место и для варьированного
движения, то в этом случае dvQ имеет одно и то же значение для всех
значений t и формула (246) пригодна также и в том случае, когда v точек
переходят из неварьированного положения в варьированное, двигаясь
неравномерно; внешняя работа тогда вовсе не зависит от того, когда
происходит перемещение v точек. Однако все еще предполагается, что все
движение v точек за время t, -10 очень мало. Даже, если оно происходит
скачкообразно, все же за конечное время может произойти только бесконечно
малый скачок. При этом условии можно рассматривать величины, выражающие
влияние v точек, все еще как медленно изменяющиеся параметры.
480
JT. БОЛЬЦМАН
щаются, причем действуют также добавочные силы, и, наконец, несколько раз
в течение времени / -f di протекает варьированное движение. Все эти
процессы мыслятся происходящими один за другим во времени, и можно, если
угодно, совсем отбросить различие между изменениями во времени и
вариациями.
В этом случае, когда как неварьированное, так и варьированное движения -
периодические, вариации на обоих пределах делаются равными и
отсюда
= 2 = д In (гТ)2. (248)
Налицо почти полная аналогия со вторым законом термодинамики. Будем
переходить к новым и новым варьированным путям, причем v точек занимают
все новые и новые положения, но движутся относительно п точек бесконечно
медленно или, при циклическом движении п точек, может быть, испытывают
бесконечно малый скачок по прошествии конечного промежутка времени. Будем
постоянно варьировать движение таким образом, пока не получатся конечные
изменения всех величин и пока, наконец, не будет совершен полный круговой
процесс, т. е. мы возвратимся, в конце концов, к тому же движению п
