Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
масс т, которые находятся во всех возможных фазах одного и того же
центрального движения и, не мешая друг другу, движутся одна независимо от
другой и все находятся одинаковым образом под воздействием магнита через
посредство одинаковых вышеописанных устройств. Таким путем система может
быть превращена в изокинетическую в смысле Гельмгольца, а также и в
подлинно циклическую. Последнее - в том случае, если все эти массы уже в
начальный момент непрерывно распределены соответствующим образом по
площади, которую они описывают с течением времени в центральном движении.
Но в этом случае для определения положения одной из материальных точек,
находящихся в состоянии центрального движения, кроме медленно
изменяющихся координат, которые определяют положение магнита или
магнитов, недостаточно задания одной циклической переменной: для этого
нужны две переменные (две прямоугольные координаты на плоскости, или
длина дуги траектории и направление движения на заданном расстоянии от
центра сил).
Если желательно, чтобы центральное движение каждой массы происходило по
ньютоновскому закону тяготения, то нельзя применять обыкновенный магнит,
а нужно, чтобы полюс А притягивался более близким полюс-сом В с силой,
обратно пропорциональной первой степени расстояния, а по-люом С - с такой
же силой отталкивался. Тогда опять-таки полным диф-
474
Л. БОЛЬЦМАН
?/-)
ференциалом будет не 8Q, а -=- . Если имеются одновременно два магнита,
из
которых один обладает только что указанными свойствами, а другой
действует по тому же закону, что и обыкновенный магнит, и притом оба
магнита могут вращаться один независимо от другого, то получается
движение, при котором центральная сила следует закону, упомянутому в
конце § 41, причем обе постоянные Ли а можно изменять одну независимо от
другой.
f/Ч
В последнем случае также и--- не является полным дифференциалом;
отсюда можно видеть, что не для всех изокинетических, а также не для
всех подлинно циклических систем -Ш- есть полный дифференциал. За
подробными расчетами для всех этих примеров я отсылаю к статьям в Wien.
Sitz. Вег., II, 92, стр. 853, октябрь 1885; Exn. Rep. d. Physik, 22, стр.
135.
Третий пример. Некоторая масса быстро вращается вокруг оси, причем ее
расстояние от оси является медленно изменяющимся параметром. Это -•
поучительный пример циклической системы в расширенном смысле, согласно
терминологии Герца, системы, которая не является подлинным циклом. Этот
пример в дальнейшем, ради краткости, будет именоваться Центробежной
моделью. По поводу прекрасной аналогии, которую поведение этого простого
устройства обнаруживает с теоремой Карно и с поведением совершенных
газов, смотри мои "Лекции о максвелловой теории электричества и света",
т.1, лекция 2. В той же книге (лекции 4 и б) описано устройство, в
котором возможны два, не зависящих одно от другого циклических движения.
Четвертый пример: модель с потоком жидкости. Лишенная трения несжимаемая
жидкость находится в состоянии безвихревого движения в замкнутом канале.
Форма канала, а также его поперечное сечение в различных местах могут
медленно изменяться, однако без изменения общей емкости канала. Эта
система является подлинным циклом.
§ 45. Движение непериодическое и не носящее циклического характера
Сначала мы поставим задачу в самой общей форме. Представим себе п
материальных точек (шарики т в модели центрального движения), положение
которых определяется при помощи s обобщенных координат. Эти координаты
могут быть связаны о условиями, совершенно не меняющимися с течением
времени, которые, следовательно, остаются одними и теми же также и для
всех варьированных движений.
Позже мы предположим, что движение этих п материальных точек -
циклическое или родственное ему. Пока же мы оставим его самым общим.
Эти п точек образуют рассматриваемую механическую систему. Кроме того, мы
имеем еще три рода материальных точек.
1. Пусть прежде всего с п упомянутыми материальньми точками
взаимодействуют другие п' материальных точек, которые сохраняют
неизменными свои положения в пространстве и поэтому без нарушения
общности могут быть включены в число п точек. Например, в примере с
моделью центрального движения в том месте, где нить проходит через
отверстие, может находиться неподвижная неизменяемая масса, которая
действует на шарик т центральной силой, изменяющейся по любому закону.
Такие массы могли бы быть размещены неподвижно и в других местах
плоскости движения.
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
475
2. Кроме того, пусть с п материальными точками взаимодействуют v других
точек, положение которых определяется g обобщенными координатами
(медленно изменяющиеся переменные, или параметры). Это положение в одних
случаях остается неизменным, в других опять весьма медленно изменяется.
Эти v точек по отношению к рассматриваемой системе считаются внешними.
Они соответствуют магниту в модели центрального движения.
3. Пусть имеется еще N других материальных точек, которые действуют
