Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
скоростью, численно равной скорости первой частицы и одинаково с ней
направленной. Координата называется подлинно циклической, если система
совершает циклическое движение при изменении одной этой координаты, в то
время как другие координаты сохраняют неизменными свои значения.
Молекулярные движения, которые согласно механической теории теплоты
представляют собой теплоту, не являются по воззрениям этой теории
ДВА ОТРЫВКА ИЗ "ЛЕКЦИЙ О ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ"
471
строго циклическими. Только вследствие большого числа движущихся молекул
при выходе какой-либо молекулы из определенного состояния движения вблизи
нее появляется другая молекула с очень близким состоянием движения, так
что внешне мы не замечаем никакого изменения. Поэтому понятие подлинно
циклической системы было расширено следующим образом. Характерным для
подлинно циклических систем является то обстоятельство, что все их
свойства зависят не от значения самих подлинно циклических координат, а
только от скоростей их изменения. Поэтому циклическая координата, не
стоящая под знаком производной, не может входить ни в выражение живой
силы, ни в выражения действующих на систему сил, ни в функции, выражающие
условия связей. Обобщая понятие подлинно циклических координат, мы, по
примеру Герца, будем попросту называть циклической любую координату,
которая не входит иначе как под знаком производной по времени ни в одно
из вышеупомянутых выражений.
Если на точки некоторой системы не действуют ни внутренние, ни внешние
силы, как это Герц принимает для всех систем, то при условии, что нет
уравнений связей, даже прямоугольные координаты являются циклическими.
Известное сродство с циклическими системами имеют системы, обладающие
периодическим движением, для которых, стало быть, по прошествии
известного времени повторяются точно те же самые состояния движения, в
той же последовательности; эти системы мы будем кратко называть
периодическими системами. Если периодически движущиеся массы играют
второстепенную роль, то периодические системы могут обладать почти всеми
свойствами подлинно циклических систем. Например, они могут отличаться от
подлинно циклических систем только тем, что в их состав входят
вращающиеся зубчатые колеса, взад и вперед движущиеся поршни и другие
колеблющиеся массы.
Гельмгольц идет еще дальше и рассматривает системы, которые подчинены
только тому условию, что не только сумма кинетической и потенциальной
энергий, но и каждая из этих энергий в отдельности остается постоянной.
Он называет такие системы изокинетическими. Еще более общее понятие
образует Клаузиус. Он называет стационарным такое движение, при котором
ни одна прямоугольная координата и ни одна из составляющих по
координатным осям скорости материальной точки не возрастает
неограниченно, как бы долго ни продолжалось движение. Я предпочитаю
называть такое движение "конечным". Предположим теперь, что движение не
является периодическим в том смысле, что по истечении конечного
промежутка времени все материальные точки возвращаются одновременно в
точности к прежнему положению с прежней по величине и направлению
скоростью и затем снова начинают точно такое движение; однако
предположим, что движение подчиняется такому закону, что если взять
средние значения за некоторый промежуток времени живой силы, составляющей
скорости или одной из прямоугольных координат какой-либо точки или всей
силовой функции У и т. д., и заставить промежуток времени, для которого
вычислено соответствующее среднее, неограниченно возрастать, не варьируя
движения, то каждое из этих средних значений будет стремиться к
определенному пределу. Такое движение мы будем называть измеримым.
§ 44. Специальные примеры
Прежде чем перейти к вычислениям, поясним сказанное несколькими
примерами.
Первый пример - уже неоднократно упоминавшийся пример из кинетической
теории газов или капельных жидкостей. Система образуется
472
Л. БОЛЬЦМАН
п материальными точками, которые движутся в цилиндрическом сосуде с
твердыми стенками, закрытом совершенно плотным поршнем, движущимся без
трения. Движение материальных точек происходит совершенно так, как
движутся, согласно воззрениям механической теории теплоты, молекулы газа,
следующего закону ван-дер-Ваальса, или молекулы капельной жидкости.
Увеличение живой силы, хотя бы за счет получаемых откуда-то извне
молекулярных ударов, соответствует подведенному теплу, которое пошло на
повышение температуры, тогда как работа против действующих между п
материальными точками внутренних сил соответствует внутренней работе, s
переменных - это величины, необходимые для определения положения п
материальных точек.
Поршень движется только медленно, так что его давление все время
приблизительно равно противодавлению материальных точек, между которыми
постоянно осуществляется равновесие живой силы. Переменные в количестве g
определяют положение поршня. Работа силы, с которой поршень действует на
