Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 198

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 192 193 194 195 196 197 < 198 > 199 200 201 202 203 204 .. 461 >> Следующая

дает непосредственно
эн , &н 1 , W 92н л
' dpi -"Ч Ьщ dpj ' li) 1 dqt Qqj ^ J '
А. Силы и ускорения
Силы, представленные в такой форме, являются линейными функциями
ускорений. Коэффициент при q! в выражении для силы Р, может быть выражен
следующим образом :
9Р. = • 9W = Щ_ .
Эqj bqtdqj dq'; ' '
что означает следующее: Если ускорение q) увеличивает силу Р, в некоторое
число раз, то ускорение q'{ увеличивает силу Ру во столько оке раз. Имеет
ли место подобное явление в каком-либо данном определенном случае,
зависит
от того, будет ли величина ^ э^. отлична от нуля или равна нулю. Эта
величина равна нулю, например, для движений совершенно свободной системы
весомых материальных точек, если они отнесены к прямоугольной системе
координат. Каждая отдельная составляющая силы действует ускоряюще только
в направлении той координаты, которой она соответствует.
Для волчка в примере 1 § 2 мы имеем :
ЭА _ дв_ __ п W ~ 9а" - U '
Э А ЭС п
W=wr==~(r)cos(}' дс э в п ЭГ эуг ~ '
где а", Р" и у" - ускорения углов а, /3 и у.
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
449
В примере 2 для электродинамических действий мы имеем :
0Pi _ Щ' п 0/; dqt
Щ _ д&к ы?- Ыj ¦
Первое уравнение имеет следующий смысл : так как пондеромоторная сила в
цепи электрического тока не зависит от ускорения токов, то и
индуцированная электродвижущая сила не может зависеть от ускорения
проводников тока (однако в том и другом случае возможна зависимость от
скоростей). Последнее уравнение говорит, что если при заданном положении
и форме цепей тока Ьтлс увеличение силы (?у, действующей в Ь, посредством
электродинамической индукции заставляет возрасти величину Ik, то равное
возрастание силы производит такое же действие на /;.
В примере 3, где рассматриваются термодинамические действия, эти взаимные
зависимости отпадают, так как живая сила L тяжелых масс не зависит от
температуры, а следовательно, произведения & • qt не встречаются в
выражении для
Ъ - L - Н.
В. Соотношения между силами и скоростями
Из уравнений (38) далее следует:
0Р, _ _ 02Я дгН _d ( ъгн \
dqj dpi dqj dpj dqi dt ( dqi dqj j'
Следовательно,
ЭPi dPj 0 d f д'Н л _ 0 d I bPi у 0 d f dPj )
dqj ^ dqi Z dt ( dqi dqj J Z dt { dq) J dt I dqi J ' ^ '
В очень большом числе случаев
dPi _ dPj __ d2H dq'j ~~ dqi ~ dqi dqj
отсюда следует:
dPi _ dPj
dqj ~ dqi '
const, (51)
(52)
т. e. : Если увеличение скорости qj при сохранении постоянного положения
и постоянных ускорений вызывает возрастание силы Р" то соответствующее
увеличение скорости qj уменьшит силуРj. В примерах А) уже обращалось
внимание на случаи, в которых предварительное условие (51) выполнено. Эти
примеры лучше всего показывают широкое значение этого предложения, но они
показывают также, что нужно убедиться в выполнении предварительного
условия, прежде чем применять вместо общего уравнения (50) упрощенное
выражение (52).
Пример 1. Волчок. Если сила, которая увеличивает угол /в, т. е. стремится
удалить ось волчка от вертикали, поддерживает более быстрое

прецессионное движение -д-, то сила, которая стремится ускорить
прецессию, будет приближать ось к вертикали.
Пример 2. Закон электродинамической индукции (закон Ленца). Относительное
движение двух электрических цепей, которое поддерживается
пондеромоторными электродинамическими силами, вызывает инду-
450
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
цированные электродвижущие силы, которые противодействуют имеющимся
токам.
Соответствующая зависимость обнаруживается при движении магнита
относительно проводника тока.
Пример 3. Термодинамика: Если повышение температуры увеличивает давление
в системе тел, то сжатие этой последней вызовет повышение температуры.
Для этого случая мы можем, используя обозначения и пояснения § 2 к этому
примеру, написать уравнение (52) после умножения обеих частей на г/ в
таком виде:
(53)
или в соответствии с формулой (37):
(М>
Но на основании уравнения (34)
dQ ds -х? ( 9s 0s dt)
Следовательно,
dqt \ dt } ' dpt
Согласно уравнению (35) мы имели
9
Нт|г- <54>
р,~
0 Pi
а так как L не зависит от г\, то
эр, _ _ dm _ 0s
drj dpi dtj dpt
(55)
что совместно с уравнением (54) подтверждает справедливость уравнения
(53), а тем самым и применимость нашего общего предложения. При этом
можно было бы любую из функций р уравнения (33) рассматривать как
скорость ; нужно только, чтобы тогда соответственно величина фигурировала
в качестве ускорения. Температура & также принадлежит к числу
интегрирующих делителей г\, так что имеет место уравнение
^ dO
Так как в этом примере производная должна равняться нулю, то величина
есть скорость, с которой поступает тепло, когда параметр pt
растет со скоростью qh в то время как # остается постоянной. Отсюда
получается данная выше формулировка предложения.
Те же самые соображения могут быть применены к необратимым частям
термоэлектрических и электрохимических процессов.
Явление Пельтье. Если нагревание какого-либо места замкнутой цепи
Предыдущая << 1 .. 192 193 194 195 196 197 < 198 > 199 200 201 202 203 204 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed