Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 194

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 188 189 190 191 192 193 < 194 > 195 196 197 198 199 200 .. 461 >> Следующая

и называть згимпульсами. В движении свободной системы, отнесенной к
прямоугольной системе координат, им соответствуют произведения масс на
скорости ; производные по времени от этих произведений у Ньютона явля-
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
439
ются мерой соответствующей составляющей силы
В более сложных случаях влияние, оказываемое инерцией масс, принимающих
участие в движении при определенном виде движения, бывает различным в
зависимости от положения масс. Например, при вращательном движении
твердого тела импульс оказывается равным произведению момента инерции на
угловую скорость. В этом смысле величины st являются мерой влияния
инерции масс, принимающих участие в движении; их ускорение составляет
соответствующую часть движущей силы, как показывают уравнения (3).
В механике весомых тел величины s;- в первоначальных, полных задачах
являются линейными однородными функциями величин qh причем коэффициенты
при них, вообще говоря, суть функции величин р, и, таким образом,
получается система линейных уравнений
* = (14)
Если эти уравнения разрешить относительно величин qjt то последние
представляются как линейные однородные функции величин s,. Это было бы
не-
r з si-
возможно, если бы определитель величин или соответственно величин
04]
щ-щ - был тождественно равен нулю. Но последний случай мог бы иметь
место только в том случае, когда живая сила для некоторых движений
обращалась бы в нуль при конечных значениях скоростей. Дело обстоит
именно так, потому что L есть существенно положительная однородная
функция второй степени от величин qt:
\2L = 2' {q, st) •
i
Если бы упомянутый определитель был равен нулю, то все st, а
следовательно, и L могли бы оказаться равными нулю при отличных от нуля
значениях величин qt.
Условие того, чтобы определитель уравнений (14) не равнялся тождественно
нулю, может быть высказано в такой форме: между величинами st и Pi не
должно существовать тождественной зависимости, не содержащей qit а
поэтому q,- всегда могут быть представлены как функции st и pt.
Это обстоятельство остается в силе, когда, как в случае скрытых движений,
некоторые из st могут быть постоянными или, как в случае исключенных рк,
равными нулю. Значения оставшихся st при этом не меняются. Так как для
электрических движений и для обратимых тепловых движений имеет место то
же самое, поскольку в настоящее время известны физические законы этих
явлений, то нет до сих пор никаких физических поводов к тому, чтобы
предусматривать исключительные случаи, когда определитель уравнений (14)
оказался бы равным нулю; поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что
указанный определитель может оказаться тождественно равным нулю не иначе,
как только для особых значений
Если придерживаться этого условия, то вариационная задача может быть
сформулирована так, что уравнения
*- = тг • <"
440
Г. ГЕЛЬМГОЛЬЦ
которые в начале этого параграфа были составлены независимо, войдут в эту
задачу.
Пусть, как и выше, Н есть функция переменных р, и qh Р, - функция одного
только времени. Положим
для любых вариаций величин р1 и qh которые мы будем рассматривать как
независимые переменные. Для моментов времени t0 и tx все 8р( должны
равняться нулю, вариации же dqt и тут остаются произвольными.
Варьирование по qj дает
не может тождественно равняться нулю.
Варьирование по pt выполняется так, как показано выше, и дает тот же
результат.
Введем следующее обозначение для входящей в уравнение (15) функции
переменных pt и qt:
(величина Е, как это будет показано в следующем параграфе, есть энергия);
тогда уравнение (15) принимает вид
Я привожу здесь эту форму потому, что в конце этой статьи мы встретимся с
аналогичной формой, причем, однако, обе эти формы в физических
исследованиях выглядят совершенно непохожими одна на другую, пока в
точности не известно, какие величины следует рассматривать как р,-, qf и
s,-С другой стороны, как раз эти формы объединяют в себе наиболее полную
постановку задачи.
Если уравнения (4) последовательно умножить на qt и сложить, то получим
I
(15)
и потребуем, чтобы имело место равенство
(16)
откуда получаются уравнения (1), 'так как определитель величин
(17)
§ 2. Отношение к принципу постоянства энергии
О ФИЗИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
Если, как и раньше, положить
то .можно написать
(19)
(18)
Здесь первая сумма выражает внешнюю работу сил Р, за элемент времени dt.
Таким образом, получается, что мерой убывания или возраста-, ния величины
Е служит соответственно положительная или отрицательная работа, которую
совершают эти силы. Отсюда следует, что Е обозначает запас энергии
системы, выраженный через ее координаты р, и скорости q,.
Отсюда видно, что принцип наименьшего действия, взятый в форме § 1,
включает всегда принцип постоянства энергии.
С другой стороны, не является необходимым, чтобы принцип наименьшего
действия был пригоден во всех мыслимых случаях, которые подчинены закону
Предыдущая << 1 .. 188 189 190 191 192 193 < 194 > 195 196 197 198 199 200 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed