Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
можно вывести из очевидной интегрируемости вариаций б (Т dt) и б (V dt)?
Положив сначала, что 5А - 8В, постараемся получить что-нибудь из
одновременной интегрируемости ЬА и ЬВ. Если А и В, будучи функциями х и
бх, связаны соотношением 6А = бВ, можно ли сказать, что интегрируемость
5(Vdt) вытекает из уравнений (14), если 8(Tdf) удовлетворяет этому
уравнению? Уравнения (14) делают 8(V dt) интегрируемой при любых бх, а в
действительности речь идет только о бх, связанных условием
8(0 + 10 = 0,
и если предположить выполненными уравнения (14) без этого условия, то
вариация б (V dt) будет интегрируемой, а вариация б (Т dt) не будет
интегрируемой, потому что уравнение
8(Tdt) = 8(Vdt) + d8(ht)
не имеет места.
Отправляясь от интегрируемости вариации, Лагранж возвращается к
уравнениям (9) или (14), но анализ великого геометра неточен. Вот его
слегка измененное изложение.
*)J. Lagrange, Mecanique analytique, т. 1, стр. 296 [имеется русский
перевод: Лагранж, Аналитическая механика, т. 1, Гостехиздат, 1950. -
Прим. ред.].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 337
Вариация 8 (Т dt) является полным дифференциалом, но Т = V - 0, поэтому
выражение 6(1/ dt) - 8(0dt) или, так как 0 = -h, выражение 6 (V dt) + d
d(ht) также есть полный дифференциал. Но d d(ht), очевидно, интегрируемо,
а поэтому 6 (V dt) также интегрируемо.
Таким образом, отыскивая условия интегрируемости выражения 6 (V dt),
возвращаются к уравнениям (9) или (14), но только в том случае, если дх
никак не связаны между собой. Если допустить, что
8(0+ h) = 0,
то мы не придем к этим уравнениям.
Предполагая
в+ h = 0 и 8(0 + Щ = 0,
найдем условия интегрируемости функций 8(Т dt) и 6 (V dt). Так как эти
условия одинаковы для обеих функций, мы рассмотрим одну из них, например
первую.
Как известно, вопрос сводится к интегрируемости суммы
8(Tdt) + ldt8(0 + h),
где множитель Я есть функция независимой переменной.
Мы заменим предыдущее выражение на
J5 dt [Т + Я (0 + /г)],
что можно сделать, принимая во внимание уравнение живых сил.
Это изменение ничего не меняет в интересующем нас вопросе, но окажется
полезным в теории максимумов и минимумов, в частности, там, где нужно
различать максимум и минимум.
Заменяя ЯнаЯ-)-1иТф-0наКв предыдущем выражении, получим выражение
8 dt [V + h + Я (0 + h)]
или, так как вариация
dhdt = d 8ht
всегда интегрируема, то оно принимает вид
8dt [V + Л(0 + h)].
Итак, вопрос сводится к интегрируемости d (V dt) в предположении, что
8 (0 + h) = 0.
Таким образом, и проблема изопериметров и принцип наименьшего действия
требуют интегрируемости 8(V d:). Но первая требует интегрируемости при
произвольных дх, тогда как второй предполагает условия
8 (0 + К) = 0.
Лагранж, а позднее и другие геометры рассматривали обе проблемы как один
вопрос, требуя, чтобы функция V имела частный вид, а именно не зависела
бы от времени, внося этим ограничение. Исключая это, повторяем, что
проблема изопериметров и принцип наименьшего действия были для Лагранжа
одним и тем же вопросом. Ибо этот великий геометр, отправляясь от одного,
пришел к другому. Само собой разумеется, что мы ограничиваемся
338
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
проблемой изопериметров и рассматриваем динамику как частный случай этой
проблемы.
Чтобы выяснить, в каком направлении нам двигаться дальше, решим сначала,
будут ли условия интегрируемости при произвольных бх для
d{Vdt) и ddt[V + Х{0 + h)]
одинаковы или различны. Хотя неизвестные х последней формулы и связаны
соотношением
в + h= 0, (20)
но это не отражается на их вариациях бх.
Мы уже дали (§ 2) условия интегрируемости вариации 6(V dt). Найдем теперь
эти условия, для вариации
ddt[V + Х{0 + Х)].
Для отыскания их надо придать предыдущему выражению ту форму, в которой
мы написали вариацию 6(У dt), т. е. написать
i - m i=m к=п-1
d(vdt) = dt 2Zifo>i + d{Vdt)+ 2 2 ?i,k6wV' (4>
i=1 /=1 fc=0
и нам остается только найти бХ dt (0 + Л). Так как 0 + h равно нулю, то
дХ dt {0 + Л) = Хдв dt + Xdhdt,
а затем, по правилам вариационного исчисления,
d@
dxPp
i = m к=2п- 1
30dt = d0dt + dt 2 2
i=l fc=0
или, так как уравнение 0 -f h - 0 влечет за собой d0 = 0, то
d& dx(P
i=*m к=2п-\
60dt = dt2 2
i= 1 fc=0
и следовательно,
i = m k=2n- 1 j/a
dXdt(0 + h) = X6hdt + dt 2 2 X fi) dxk •
i=l fc=0 '
Положим
k=2n-\ j/a k=2n-2
dt 2 + d 2 kk^f-
k=0 aXi k=0
Производя дифференцирование, получим
fc=2n-l j(r) k=2n-2
2 X -dJk do/p = z, doj, + V (t;,kdco<p + Citkdco<^),
fc=0 " k=0
или, как легко проверить,
d@ dx(p
k=2n-l dQ
2 =
fc=0
k=2n- 1
= (z, - :,_!)&",¦ - cij2n-i + 2 (к* + kk-i)foV*
k=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ ЗЗф
Так как величины Ci,-1 и Uit2n-X можно выбирать произвольно, положим
?|',-1 = Z1 "
^i,2n-l = 0 .
Это даст нам
к-2п~1 jfa к=2п-\
2 Х~Ьс>ЫР = > (С'.ь + Сиь-г)^.
к=О лi к=О
Следовательно, мы имеем для всех значений к, от 0 до 2п-1 включительно,
C'i,k + Ci>k-1 = X^. (27)
Затем, подставляя, имеем
i = m i = m к=2п-2
