Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
(20) на dt и интегрируя, получим
\0dt-\-ht - const.
Затем, дифференцируя в смысле 6, получим
8 [ 0 dt + hdt -f tdh = const или, так как h = - 0, то
б j" 0 dt = 08t - tdh + const.
Мы варьируем произвольную постоянную h, чтобы не упустить никаких причин,
влияющих на величины бх. Эти последние изменяются по двум причинам :
вследствие варьирования времени t и вследствие изменения формы функций х.
Первая причина, очень простая по природе, может ввести в бх лишь x'6t,
вторая гораздо более сложна и может ввести несколько членов в каждую из
бх. Эти члены мы обозначим через боа. Таким образом, мы учитываем не
зависящую от времени вариацию параметров, входящих в функции х. Такими
параметрами являются, в частности, явно входящие в функции х произвольные
постоянные интегрирования, и потому их вариации неявно входят в бы.
Вычитая последнее уравнение из формулы
*) Геометры и инженеры понимают под живой силой разные величины, а
именно: инженеры принимают половину той величины, которую принимают
геометры. Мы в этом Мемуаре стоим на точке зрения геометров.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 335
найдем
г i = т к=п-1
j гй= 2 2 + tdh +const• (24>
J i^l к=О
Если мы теперь возьмем интеграл от левой части в пределах, выбранных
таким образом, чтобы правая часть, проинтегрированная в тех же пределах,
исчезла, то получим
3$Tdt = 0, (25)
из чего можем заключить, что интеграл
STdt, (26)
взятый в пределах, выбранных подходящим образом, является минимумом. Это
и есть другой вывод принципа наименьшего действия, предпочитаемый в
динамике.
Исходя из формулы (25), Лагранж вновь возвращается к уравнениям (9) или
(14), или, что то же самое, к формуле (7). Мы воспроизведем его анализ с
некоторыми изменениями.
Прежде всего, чтобы не быть связанными условием, относящимся к пределам
интегрирования, воспользуемся вместо формулы (25) формулой (26), которая
свободна от этих условий. Заменяя в ней Г на V - 0, получим
г i = m к^п- 1 г
8\Vdt= >' ?1>кмр + д 0Л + Ш +const.
J ;' = 1 fc = 0 ' J
Заменив 0 на - h, получим
д10 dt + tdh= - h dt + const = 031 + const.
Следовательно,
r i = m k=n- 1
3 \V dt = & dt + 2 2 + const (21)
J i=1 k=0
и нужно лишь продифференцировать результат, чтобы получить формулу (7).
Принцип наименьшего действия, обобщенный в проблеме изопериметров,
заключается в том, что интеграл | Т dt, взятый в пределах, выбранных
подходящим образом, приобретает наименьшее значение, если величины х и ?
удовлетворяют уравнениям (14). При этом предполагается, что эти величины
удовлетворяют также уравнению живых сил. Таким образом, если принять за х
и ? произвольные величины, удовлетворяющие уравнению живых сил,
в + h = 0, (20)
то интеграл | Т dt, отвечающий им, будет больше, чем интеграл, отвечающий
значениям х и ?, удовлетворяющим уравнениям (14), которые заключают в
себе, как мы видели, уравнение живых сил.
6. Мы уже условились говорить о минимуме или максимуме интеграла в том
случае, когда вариация интеграла обращается в нуль. Для этого необходимо,
чтобы вариация была интегрируема и чтобы этот интеграл был равен нулю.-
Мы воспользуемся этим замечанием, чтобы немного обобщить некоторые
утверждения, относящиеся к проблеме изопериметрбв. Мы будем говорить, что
при превращении вариации в нуль будет иметь место не минимум или максимум
интеграла, а что эта вариация становится интегрируемой. Так, та часть
проблемы изопериметров, которой мы занимались, имеет дело со случаем
интегрируемости вариации 6(V dt), и мы видели, что ее решение
336
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
приводит к уравнениям (14). Это происходит потому, что если неизвестные х
и ? удовлетворяют этим уравнениям, наша вариация становится интегрируемой
при любых приращениях бх и ее интеграл дается формулой (21).
Предполагая, что функция V не содержит явно времени t, мы нашли интеграл
уравнений (14); это интеграл живых сил
в + h = 0. (20)
Этот интеграл связывает переменные х и ?, никак не связывая их вариаций
бх. Поэтому нельзя дифференцировать в смысле б уравнение
в + h = 0, (20)
не связывая некоторым соотношением свободные ранее вариации, появляющиеся
после дифференцирования. Это простое обстоятельство ускользнуло, по-
видимому, от внимания Лагранжа, так что анализ великого геометра*) не
кажется нам безупречным [142]. Отвлечемся на время от формул (14) и
предположим, что х и ? удовлетворяют только уравнению (20), и будем
рассматривать только такие х и ?. Тогда х + бх и ? -\- 8?, заключенные
среди возможных значений х и ?, тоже удовлетворяют уравнению (20).
Мы имеем
д(в + h) = О
или
8 ((c) dt) + 8 (h dt) = 0.
Заменяя 0 на V - Т, перепишем последнее уравнение в виде
д (Т dt) = 8 (V dt) + d8 (ht).
Из этого следует, что вариации 8(Т dt) и б (И dt) интегрируемы
одновременно, т. е. интегрируемость одной влечет интегрируемость другой.
Таков результат Лагранжа. Но после сделанного нами этот результат
становится очевидным и не составляет никакой теоремы. Действительно, что
