Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 147

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 461 >> Следующая

наши 2пт неизвестные :
•у Yff уШ-1) .
1 1 Л1 > ' • ' > >
у *= О 1 > 2 у • • • > л-1 ¦
Для этого воспользуемся уравнением (7); заменив в нем вариацию део<к> ее
значением dx(k) - x(khl) б/, мы получим
(т п - 1 т л-l
Vdt~dtJ> 2 *i.k*ik+1) + У 2 й (*ь* (5x''',) •
1 = 1 Л-0 1=1 к = 0
Но
(I (6, к ад = б (f,, к dx'k>) + d?" к дх+ - dX+ 6f, к ; обозначив для
краткости
т rt- 1
2 2 ?i.k*ik+1) = T'
i = i О
(Ю)
V-T = 0 и подставив, получим
т rt - 1
б(0Л) = d(вdt) + 2 2 №*^к), (11)
1 = 1 fc = 0
откуда, положив
d?i, к = к dt + da>i к
и, вспоминая, что
бх;/!) = хк-'11 б/ + дш,1к,
будем иметь
т п-1
б (0 Д) = d (0 60 + V V (й/1 к - dx;*> бш, о. (12)
1 = 1 &=0
Чтобы получить уравнения (11) и (12), отбросим в левой части формулы (7)
вариацию
т п - 1
<5 2 2 hkdxr = d(Tdt),
1=1 fc=0
а в правой части ту же вариацию представим в форме
(т п~1 \ т п-1
2 2 h к ад - 2' 2 №. <^to - ^к) х)
i=l к=0 i=l к=0
или, что то же самое,
(т л-1 т п - 1
2 2 ^ ^ дх>с' - 2 2 № ft d<" - ^ "К ft)-
i = 1 k=0 i=l k = 0
Мы пришли к уравнению (11) или (12).
21*
324
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Действительно, после вычитания формула (7) примет вид
dt) = d
v8t~ 22 ^ - <w'to) +22. №¦*8х^ ~ dx+
1 = 1 fe = О J (= 1 fc=0
или
6 (в dt) = d
v8t~ 22 ^ft (8x^ - 8(+k)) +228о+Л) - dx+87r>i,x)-,-=l/c=0 J i = 1
fc = 0
Вследствие 6x)ft) - 6cof№) = x;k 11} dt эти уравнения суть, очевидно,
формулы (11) и (12).
Функция 0 содержит, кроме времени /, 2пт + т величин, а именно : пт
функций |, которые вместе с х и их производными до л-го порядка
включительно составляют полное число 2пт -j- т. В это число входят т
производных л-го порядка от функций х, которые являются посторонними для
задачи.
Все остальные величины как I, так их с их производными до порядка л - 1,
являются неизвестными, которые нужно определить для решения проблемы.
Следовательно, нам нужно избавиться от т производных л-го порядка. Для
этого мы воспользуемся первой из формул (3), которую можно записать в
виде т уравнений
dV _ j. йУ ___ . dV_ _ j.
dx(tm) ~ bn_1 ' Лс'П) ~ 4а'П-1 ' ' '' dx(tm) ~ т' и"1'
Они заключают только неизвестные нашей проблемы и л-е производные,
которые нужно исключить из функции 0. Мы теперь обладаем всем необходимым
для этого исключения и можем рассматривать функцию 0, как не зависящую от
л-х производных :
у(П) у(П) у(П)
Л1 у л2 у ••• 9 лт •
Следовательно, она содержит лишь неизвестные
V v' y" Y(n-1> •
Л1 > А1 > Л1 Л1 >
? ?' ?" ?(П-1)
W > * 1 > W > •••"*! >
число которых равно 2лш, так как индекс i изменяется от 1 до т.
До настоящего момента мы воспользовались только первой из формул (3);
остальные нам не были нужны. Они заключают производные от х выше л-го
порядка, которые являются для нашей задачи посторонними и не входят в 0.
Как мы упоминали выше, эти формулы можно использовать после того, как
найдены переменные для определения производных от х порядка выше л, если
не предпочесть этому непосредственное дифференцирование. Заменив левую
часть уравнения (12) на
мы получим формулу
2 2 №. ft ^ - dx+ ft) = dt 2 2 Ь% 8с+к> + ~dfT 8Б'> ft) > 03)!
( = U=0 ¦ J = lfc = 0'"*i il>K J
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 325
которая, вследствие того, что вариации <5со ничем не связаны, распадается
на соотношения :
d& ,,
Si'к ~ Hf* ' dxf = - dt.
1 dsi, к
(14)
Эти соотношения при всевозможных i и к дают 2пт дифференциальных
уравнений с таким же числом неизвестных.
Формулы (14) суть дифференциальные уравнения проблемы изопериметров,
представленные в наиболее простой форме.
Геометры ранее уже придали такую форму общим уравнениям движения. Таким
образом, хотя уравнения динамики и являются частным случаем проблемы
изопериметров, эта проблема описывается теми же самыми уравнениями и в
той же форме, что и движение динамических систем. Мы увидим, что то же
относится и к их интегралам. Это последнее представляется нам особенно
замечательным.
Мы могли бы не только легко вывести уравнения (14), но и упростить все
вычисления в этом Мемуаре, если бы рассматривали время t как независимое
относительно символа <5. Но, может быть и напрасно, мы не хотели
предположить dt = О.
3. Уравнения (14) можно вывести и независимо от формулы (7). Для этого
воспользуемся тремя уравнениями (2). Положив в них S,- = О, получим :
dV _ j. t' - _ e t' _ dY_ MrV
dxlF ~ n_1 ' i,k dx\k) dxi * *
Первое из этих уравнений представляет систему, которой мы пользовались
для исключения п-х производных х)п), х?п),..., х(?> из функции 0. Мы
употребляем их снова для этой цели и заметим, что п-е производные зависят
только от
f X- Х' X" 1) ?,
м л/ у > л| у • • • > л| ) 5/,л-1
и не содержат ни одной из величин |/д, f,,2,..., |,1П_г
Из этого следует, что при всех i функция V после исключения п-х
производных будет зависеть только от переменных t, х" х'., х",..., х^1*,
|,|П_Г и не будет зависеть от ?,, |Л1, |fi2,..., ?iVl_2.
Третье из уравнений (15),
е _ dV ' dxi '
в предположении что Si,-i - О, превратится в частный случай второго
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed