Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
t. Но так как
начальные и конечные положения даны, то dxh ду,, dzt уничтожаются на
границах интегрирования и члены, стоящие вне знака интеграла, обращаются
в нуль, так что
d$Tdt= -S2mt (х] дх, + у] ду, + г] дг,) dt;
ОТРЫВОК из "ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ"
309
таким образом, имеем
aS(T + U)dt=-S{2m, (х" dXi + у; <5у,- + z"i 8Zi) - д и] dt, (2)
Из уравнения (2) на самом деле следует данное ранее во второй лекции
символическое основное уравнение динамики.
Содержащийся в уравнении (1) принцип очень полезен при преобразовании
координат. Уравнение это имеет место для всякой системы координат •
поэтому в новой системе надо так же варьировать по новым координатам, как
раньше по старым, и вся подстановка, которая должна быть произведена,
ограничивается обоими выражениями Т и U.
Применим это сначала к полярным координатам; формулы преобразования в
этом случае имеем такие :
При этом предположении и допущении, что U также выражено через новые
координаты, мы найдем уравнение, следующее из 8 J (Т + U)dt = 0 по общим
правилам вариационного исчисления.
Пусть Р есть функция нескольких переменных р,... и их первых производных
р',..., причем предполагается, что все р зависят от одной независимой
переменной t, и пусть первая вариация от j' Pdt исчезает, т. е.
где интеграл надо брать от tQ до tx и где значения р, соответствующие
этим значениям t, заданы ; тогда путем выкладок, таких же, как и в шестой
лекции (стр. 301 и след.), придем к уравнению
где
X; = г, cos <р,, yf = rf sin cos zt = ri sin <pt sin у),.
Отсюда следует после дифференцирования :
dxt = cos fi drt - rt sin fi dfi,
dy, = sin fi cos ft drt + r j cos ft cos ft dft - rt sin ft sin ft df, ,
dZi = sin fi sin fi drt + r i cos ft sin ft dft + rt sin ft cos ft dfi;
поэтому
dx? + dy? + dz? = dr? + r? df\ + r? sin2 ft d ft,
или
X? + у? + z-2 = r;2 + r;2 f'iz + r? sin2 fi f'i*,
где
Таким образом, тотчас получаем
8§Pdt = 0,
dP
310
К. ЯКОБИ
В нашем случае вместо величин р стоят г,-, <ph iph а Р = Т + U; далее, U
не содержит производных г\, <р\, у,; поэтому получаем :
Га 9Г " Га -ЭГ- ~
0=2 дг, 1 dt эг э и dri дп _ бг, + 2 Э у? L dt эг э и d<pi Э у/
__
d<pt +
+ 2
эг
Эу'/
dt
ЭГ
Эу/
ьи
Э у/.
<ty/-
Но на основании уравнения (3) эг , эг
= Wt=mirWi'
эг
Эу,-
г = nz,rfsin2 tpifi;
ЭГ
: = т,- (г,- 9?;2 + г,- sin2 <pt ip\2); -f^ = \ nz, г? sin 2у>,- ^2;
ЭГ
0;
9г. "ЧУ1П г, Эу,. 2 ' Эу/
таким образом, имеем:
0 = {m<- (•$- - ri Vi2 " *7 sin2 9?,- ^2) - Щ dr, +
i x? ( Гd(r2 cpi) 1 о • г, >o\ ЭСП s , x? ( d (rf sin2 y; y,-) Э7Д "
+ ^ i"VL- 2-r'sm 2^2) - ЭуГ/ ^ + - h-A"d7---8-^}
или
-S' ml {(fi? - Г: У?-''. S'n^ Vl') irl +
+ It - Tr?sin ^ -
= 2d7ar>+ls-^+-^^) = w-
Если имеются еще условные уравнения / = 0, со = 0, ..., то в правой части
этого уравнения к 6U присоединяется еще сумма А 6/ + р дсо + ... и, таким
образом, в этом случае получится
2 mi {pj^r - г, у>? - г, sin2 у>г ^;2) <5г,- + - у A sin 2у>, ^2) ф,
+
+
d (г] sin2 у/ yi)
dt
-bpi]
dU + А <5/ + /г <5<w +.
(5)
(6)
Это уравнение распадается на Зп уравнений следующего вида :
Щ {у*г ~ r; ?72 ~ r< sin2 Vt V?} mi - Yr?sin2 fl'i ^i2} :
m,
Особенную важность имеет преобразование первоначальных координат в новые,
которые выбраны так, что когда все через них выражено, то условные
уравнения выполняются сами собой. Именно, если имеется т условных
уравнений, то можно все Зп координат выразить через 3и - т из них или
через Зп - т функций от них. В большинстве случаев очень важно ввести не
самые координаты, но новые величины так, чтобы избежать иррациональ-
со со + ^ з/ Эг/ ¦ + /* Эсо 177 +
э и d<pi + Л- _?L Эу/ + /* Эсо Эу/ +
э и Эу/ + А _9L Эу/ + /* Эсо Эу/ +
ОТРЫВОК из "ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ"
311
ностей. Например, при движении точки по эллипсоиду наибольшую важность
имеют формулы:
x = acos?7; у - bsinrj cos С; z = с sin г/ sin С.
Обозначим новые 3 п - т = к величин через ft, ft, . . •, ft ; эти
величины должны быть таковы, что если через них выразить xv уъ х2, у2,
z2, ... и подставить эти выражения в т условных уравнений / = 0, со - 0,
..., то левые части этих уравнений обратятся тождественно в нуль, т. е.
должны иметь место тождества :
/ (ft, ft, • • •, ft) = 0 ; co(q1 ft,, ft) = 0,...,
(7)
причем q не связаны никаким уравнением. Благодаря этому дифференциальные
уравнения движения значительно упростятся. Именно, общее символическое
основное уравнение динамики для любой системы координат при
существовании.условных уравнений будет
ЭГ
3 q's
dt
ЭГ
3 qs
dqs = dU + A df -j- (a boo -f- . . .,
где знак суммы распространяется на все q. Но для наших величин q
уравнения (7) имеют место тождественно ; поэтому после введения этих
величин будем иметь df = 0, дсо = 0 и т. д., и предыдущее уравнение
приводится к уравнению
ЭГ
dq's
dt
ЭГ
dqs _
9q, = 9U,
которое разлагается на к дифференциальных уравнений вида
J ЭГ
3 q's
dt
ЭГ
3<?s
dU_
dqs
(8)
Это - та форма, в которой Лагранж представил дифференциальные уравнения
