Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 135

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 461 >> Следующая

исследованиях, относящихя к аналитической механике. Правда, формулы
Гамильтона относятся исключительно к случаям, когда составляющие сил
являются частными производными одной и той же функции координат ; однако
было нетрудно внести изменения, необходимые для того, чтобы сделать эти
формулы применимыми в общем случае, когда силы выражаются любыми
функциями координат.
Когда время входит явно в аналитические выражения сил и в уравнения
связей, наложенных на систему, принцип последнего множителя, выведенный
из общего правила, приложим также и к этому классу динамических задач.
Есть даже несколько частных задач, для которых, хотя в них учитывается
сопротивление среды, все же имеют место подобные теоремы; это, например,
случай кометы, обращающейся вокруг Солнца в среде, сопротивление которой
пропорционально некоторой степени скорости этой кометы.
Анализ, который привел меня к новому общему принципу аналитической
механики, только что сообщенному мной настоящему прославленному собранию,
может быть применен к большому числу вопросов интегрального исчисления. Я
объединил эти различные приложения в пространной статье, которую, как я
надеюсь, я смогу опубликовать по моем возвращении в Кенигсберг и которую
я не замедлю представить Академии, как только она будет отпечатана.
К. ЯКОБИ
ОТРЫВОК ИЗ "ЛЕКЦИЙ ПО ДИНАМИКЕ" [133]
Шестая лекция Принцип наименьшего действия
Мы переходим теперь к новому принципу, который уже не дает, подобно
прежним, интеграла [134]. Это есть "principe de la moindre action",
неправильно называемый принципом наименьшего действия. Значение его
заключается, во-первых, в той форме, которую он придает дифференциальным
уравнениям движения, во-вторых, в том, что он дает функцию, которая
обращается в минимум, когда удовлетворяются эти дифференциальные
уравнения. Хотя такой минимум существует во всех задачах, но, как
правило, неизвестно, где его искать. Поэтому, в то время как самое
интересное в этом принципе то, что вообще можно получить минимум, раньше
придавали преувеличенное значение тому, что такой минимум существует.
Пример принципа, о котором идет речь, встречается в уже ранее
цитированной статье Эйлера "De motu projectorum".
После того как Эйлер доказал этот принцип для случая притяжения к
неподвижным центрам, ему не удалось доказать его для взаимных притяжений,
для которых было неизвестно значение принципа живой силы; поэтому он
довольствуется тем заявлением, что для случая взаимных притяжений
выкладки были бы слишком длинны, но принцип наименьшего действия должен и
здесь иметь место, так как основные положения здоровой метафизики
показали, что силы природы всегда обязательно должны производить
наименьшее действие (как он думал, благодаря присущей телам инертности).
Но этого не показывает ни здоровая и никакая вообще метафизика, и на
самом деле Эйлера побудило к такой фразе только неправильное понимание
названия "наименьшее действие". Мопертюи хотел этим названием выразить,
что природа свои действия производит с наименьшей затратой сил, и в этом
заключается истинное значение названия "principe de la moindre action".
Почти во всех учебниках, даже и в лучших, как Пуассона, Лагранжа и
Лапласа, этот принцип представлен так, что, по моему мнению, его нельзя
понять. Именно, говорится, что интеграл
j U mt v, ds,
ds
(гдег?, = - обозначает скорость точки т,) должен быть минимумом, если
интегрирование производится от одного положения системы до другого. При
этом, правда, говорится, что теорема применима только в том случае, если
имеет место теорема живых сил, но при этом забывают сказать, что при
298
К. ЯКОБИ
помощи теоремы живых сил необходимо исключить из предыдущего интеграла
время и все свести к пространственным элементам. Минимум предыдущего
интеграла надо понимать так, что когда даны начальное и конечное
положения системы, то из всех возможных путей, ведущих из одного
положения в другое, для действительно пробегаемого пути интеграл будет
минимумом [135].
ds •
Исключим время из предыдущего интеграла. Так как г?, = ~~, то Г а
{ Znii ds;
Но по теореме живых сил
-j 2 mivJ = U + h [136],
или
^ Tfli d.Si r\ i т j I " \
-= 2 (U + h),
_L = 1 [ШШ
dt |f E rm ds'j
Если внести это значение l/dt, то получим
j 2 m, v, dSj = J1/2ly + K) У 2 m.dsj.
Дифференциальные уравнения движения дают после интегрирования Зп
координаты задачи, выраженные через время; но из двух таких выражений для
координат можно исключить время и получить при желании Зп - 1 координат,
выраженных через одну из них, например через xv При таком
предположении можно вместо 2 mjds) подставить 2 m, dxb и тогда
получится интеграл в форме
J]/2(U + h) |^mi^Jdxl,
с которой связано теперь вполне определенное понятие.
Напишем теперь, чтобы не давать ни одной из координат предпочтения,
интеграл в прежней форме:
SVWTh)]Г2щЩ;
тогда мы можем принцип наименьшего действия выразить так:
Если даны два положения системы (т. е. если известны значения, которые
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed