Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 118

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 461 >> Следующая

приближения, эта возмущающая часть, или функция S2, может быть
приближенно выражена определенным интегралом (Т):
S2 = -$H2dt, (93)
при вычислении которого можно применить уравнения (91).
22. Если интегралы невозмущенного движения (91) дают :
Vi = &i(t > eli е2> ез> Pi> Ри> Рз) > j
Ч2=Ф,(*. <?!, <?8, <?8, Л), } (94)
% = Ф3 (f > е1 > е2> e3t Pit ?2> Рз) ) )
W1 - 1 (^ ; ^1 1 ^2 > ^3 " Pi 1 Р2> Рз) >
w2 = W2 (t, ех, е2, е3, рх, р2, рв), (95)
^3 = ^3 (t > е1 > е2> е3> Pi 1 Р2 > Рз) >
то интегралы возмущенного движения (92) могут быть строго преобразованы
следующим образом :
Ъ = ф1 (t, elt е2, ев, рх +
"ЙГ' Р3+ Se:
V2
ss.
ss.
ss,
&2(t, elt e2, e3, Pl + -^, p2 + -^, p3+
)¦'
-)¦
1 <5s" , as2 . as^
Ъ = фз(t.ei, e2, eB,p1 + , p2 + , p3+ -&*-)
(96)
256
У. ГАМИЛЬТОН
и
(5S,
со, =

<5 S,
д S,
Ш3 = А
¦ Уз Уз
л , SS. , дS2 , <5S2
(f>ei, + /?2 + -а^-,Рз+^f-J ,
л . <5S" , as2 . <5S2 Ч
[f, б!, e2, e3, p1 + , p2 + -g-~, Pa + "s^J ,
(t . as2 , <5S2 . as2)
[f, elf e2, e3,p1 + -^~, p2 + ^~, p3 + -^-J ,
(97)
здесь S2 представляет собой точную возмущающую функцию, а возмущения
положения в любое время t могут быть приближенно выражены формулой :
AVl = p-(^dt + ^i-^-dt + 4^ i^dt -
11 <5^ J <5/>j <5e2 J a/>2 6e3 J <5p3
_ ( a/7g ji _ ^1 f
SPi'J ^ <5P2 J
W,
ap2 J ae, 0
dt
J
ан2
ae.
dt
(98)
и двумя аналогичными формулами для возмущений двух других координат или
отметок положения г?2> %• В этих формулах предполагается, что координаты
и Н2 выражены посредством теории невозмущеНного движения как функции
времени t и постоянных ev е2, е3, pv р2, р3.
23. Если интегралы невозмущенного движения путем исключения дают для
этих постоянных выражения вида :
Ч = Vi + Фг (/, Vi, Va, % - "1, "г, со3)>
Ч = % + Ф2 {1,41. %, %. "1. "г > "з). (99)
"з = % + ф3 0 . %" Va, Ъ , "1 , "2 . "з)
и
Pl = "1 + ^ (t, rjltrj2, rj3,mltm2, со3) ,
р2 = сб2 + у2 (f, pi, %, %, щ , сб2, сб3), (100)
Рз = "з + Уз(*> %, %, Va, "i, "г" шз) и если для возмущенного движения мы
принимаем определения :
= Vi + Ф± (t,r)1,rj2,ri3, "!, "а, "з) - |
К = % + ф2 0, Vl , Va , Ъ > "1 >2 , "з) , | О01)
*3 = % + Фв (^ > Vl " % > % > СОх , С02 , 0>з) j
и
*1 = "1 + У1 (t, гц, р2, щ , со*, сб2, сб3),
Я2 = со2-f у2 (f, Pl, j?2, %, сб1; сб2, сб3), (102)
Л3 = со3 -(- %р3 (t, rji, rj2, r\3, a>i, со2 , ш3),
то мы получим для такого возмущенного движения следующие точные
уравнения, имеющие форму уравнений (94) и (95) :
Vi - Ф1 (t > ^1 > к2, к3, Х1, Я2, Я3), Va - Фа (t у к] > ^2 > ^з > ^1 >
^2 > ^з);
"?3 = ^3 (? г kl > ) ^3 У ^1 > ^2 > ^з)
(103)
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
257
оз 1 = уз, (t, к,, к2, к3 , А,, А2, А3),
&>2 = Vi (t > kl > ^2 > ^3 i ^1 > ^2 > *s) > / (Ю4)
(r)з ~ Уз (t, k,, k2, k3, Ax, A2, A3) j
и можем обозначить величины к" к2, к3, А1; А2, А3 как шесть переменных
элежнтов движения. Для того чтобы определить эти шесть переменных
элементов, мы можем воспользоваться шестью следующими точными
дифференциальными уравнениями первого порядка, где предполагается, что Н2
выражено посредством (ЮЗ) и (104) как функция элементов и времени :
dk. Ш2 dk,г dH2 dk3 6H2
dt dk, ' 'dt 8k2 ' "dt Ski '
dk, <w2 dk. SH2 dkз _ 8H2
dt ~ dk, ' dt 6k2 ' dt ~W '
(105)
а строгие интегралы этих шести уравнений могут быть выражены следующим
образом :
; - _М_ ; - dlL ; _ _8IL )
1 - "дк, ' 2 ~ Sk2 ' 3 - <)к3 '
} (106)
<№ 8Е <ЧЕ ' у '
Р1 6е1 ' Р2 Ье2 ' Р3 <)е3
¦I
причем постоянные е" е2, е3, pv р2, р3 сохраняют свое только что
установленное значение и поэтому представляют собой начальные значения
элементов к1У к2, к3, А1; А2, А3. В то же время функция Е, которая может
быть названа функцией элементов, так как ее форма определяет законы их
вариаций, представляет собой определенный интеграл
Е = ( (Л.-й+ + я>-йг - н') ¦ <107)
рассматриваемый как функция kv k2, k3, еъ е2, е3 и t.
Интегралы уравнений (105) могут быть также выражены другим способом :
* - 4- JL к - 4- к - 4-
К1- + дк, ' ~ + дк2 ' Кя ~ ' <И3
д С <5 С дС
С, - , Со - -г- , Со -
(108)
др, ' 2 др2 ' 3 др3
причем С представляет собой определенный интеграл
+ ('(в)
рассматриваемый как функция А1( А2, А3, р" р2, р3 и t. Легко можно
доказать, что каждая из этих двух функций элементов С и Е должна
удовлетворять уравнению в частных производных первого порядка [ш],
которое должно быть дано заранее и которое может помочь открыть формы
этих двух функций и в особенности улучшить приближенное выражение любой
из них. Все эти выводы, относящиеся к движению единственной точки,
аналогичны выводам, уже сделанным в данной работе в отношении системы
притягивающихся или отталкивающихся точек.
17 Вариационные принципы механики
258
У. ГАМИЛЬТОН
Математический пример: рассмотрение движения метательных снарядов •
24. Если три отметки положения щ, щ движущейся точки представляют собой
прямоугольные координаты и если функция U имеет форму
U ¦
g Ъ - 4-{"2 (Vl + V2) + V2 97I},
(110)
причем g, /л, v являются постоянными, то выражение
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed