Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
теоремы, утверждающей, что под действием преобразований
сохраняют свой вид. Доказывается это непосредственно. Такой выбор
преобразования мотивируется тем, что (5.135) и (5.136) суть условия
интегрируемости последовательности уравнений
и уравнения (5.137) сохраняют свой вид при преобразовании
если выполняется (5.133).
Кроме того, иногда также бывает полезно нормировать V, добавляя член в
правую часть (5.137):
Условие интегрируемости для (5.139) есть в точности (5.135), если ротор
бесконечномерного вектора N<*> равен нулю, т. е.
(Я напомню, что мы выбрали W(1) = 0, = it,kH при k^2,
чтобы быть уверенным, что асимптотика V в -оо имеет вид
(см. разд. f(i)). Добавление нормировки ЛЛ*> выполняется преобразованием
V
уравнение
qW rqWr-1 + = Q(fc),
Q->RQR~l = Q
QW-QW+fQW, Q(?)] - О * /
(5.133)
(5.134)
(5.135)
и его предел
Q,* = [Q(A), Q]
(5.136)
Vtk = Q^V,
(5.137)
V->RV = W,
(5.138)
vtk=Qm + vmk\
(5.139)
(5.140)
(5.141)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
257
и легко показать, что
N^k) = S~1Stk. (5.142)
Условие (5.140) тогда выполняется, если
[№к>,ЯЩ = 0. (5.143)
Обратите внимание, что преобразование (5.134) матрицы Q не включает 5.
Это происходит потому, что умножение V справа просто сводится к замене
базиса столбцов V. Преобразование (5.141) с условием (5.143) вместе с
(5.133) и (5.134) называется калибровочным преобразованием. Но взгляните
на (5.134). Мы знаем, что если Q удовлетворяет (5.136), то и Q - RQR-1
удовлетворяет этому соотношению. Но уравнение (5.134) есть просто
бесконечный набор соотношений между переменными {hr, er, fr}
в Q и соответствующими переменными {hr, ёг, fr} в <3.
Следо-
вательно, (5.134) есть автопреобразование Бэклунда между двумя
произвольными членами набора интегрируемых уравнений, ассоциированных с
si(2, С).
До сих пор мы ничего не сказали про R и S, кроме того, что они должны
быть обратимыми. Как их следует выбирать? Мы уже отметили, что S не имеет
существенного значения. Поэтому все зависит от того, как мы выберем R.
Во-первых, заметьте, что R обладает легко выводимым из
(5.133) свойством
-j!- det R = (Tr Q<*> - Tr Q<*>) det R= 0,
k
ибо TrQ(*> не зависит от tk, а из (5.134) то же следует для Tr QSk\
Поэтому det R не зависит от tk и может быть лишь функцией 5- Пусть а -
нуль det/?, и предположим, что это не нуль det К. Тогда det V (а) - det R
(a) det V (а) = 0 и столбцы V ли_ нейно зависимы при ? = а. Теперь,
вспоминая обсуждение в конце части (i) предыдущего раздела, мы видим, что
это в точности условие наличия у V связанного состояния в точке а. Мы
знаем, что добавление пары связанных состояний в а, а соответствует
добавлению солитона. С другой стороны, если det R имеет полюс в а, то мы
видим, что обратное преобразование V - R~lV создает новую фундаментальную
матрицу V с дополнительным связанным состоянием, параметризуемым а.
Итак, нули det/? соответствуют связанным состояниям V, не содержащимся в
V. Пара связанных состояний соответствует добавлению солитона. Более
сложные функциональные формы det/? соответствуют добавлению более сложных
решений, что выходит за рамки этих лекций. Однако есть другой простой
V29 А. Ньюэлл
258
Глава 5
класс преобразований Бэклунда, соответствующих det/? = = constant. Эти
преобразования, меняющие монодромию фундаментальной матрицы решений в ? =
оо и известные как преобразования Шлезингера [125]. Они играют
центральную роль в той истории, которую я сейчас хочу рассказать.
Давайте обратимся к конкретным случаям, иллюстрируя эти идеи несколькими
примерами. Непосредственная цель этого раздела - выписать формулы,
выражающие новые т-функции т, а, р через прежние т, а, р. Но, как мы
увидим, лучше рассматривать каждый такой триплет в качестве трех
следующих друг за другом членов бесконечной последовательности.
Первый пример хорошо известен (хотя, возможно, вы не встречались с
изложенным выше подходом) и состоит в попытке добавить к решению Q один
дополнительный солитон. Я вновь напомню, что вся информация о солитоне
содержится в структуре фундаментальной матрицы решений. Ее столбцы
становятся линейно зависимыми при значениях ?, соответствующих солитонным
параметрам. С помощью преобразования базиса, действующего на столбцы V
посредством S, этот критерий можно сформулировать в вполне эквивалентной
форме, если потребовать, чтобы первый столбец в RV обращался в нуль при ?
= ?1, а второй в сопряженной точке ?ь Вспомним краткое обсуждение задачи
рассеяния для задачи на собственные значения Захарова - Шабата в разд.
5f. Для г и q общего вида собственные значения появляются парами, ?, ? -
нули соответственно а(?) и а(?) в верхней и нижней полуплоскостях. Если
fx = - е* (или r = -q*), то ? = ?* = ?- it] и 14 и ? - амплитуда и
скорость огибающей солитона. В целях настоящего обсуждения мы возьмем r =
-q и в этом случае ?i=tr), ?1 =-ггр Вычисления упрощаются, и результат
читателю уже знаком из разд. 4f. Положим
