Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 89

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 113 >> Следующая

многообразие решений левоинвариантно относительно потоков Qi,tr
/ = 1, ..., п в том смысле, что решение (5.113) в момент ^0) при эволюции
в силу ПОТОКОВ Qlt tj> 1 = 2 п
до времен t2, ..., tn снова будет удовлетворять (5.113), только 40), ...,
40> надо заменить текущими временами t2, ¦¦¦, tn. Однако в отличие от
конечнозонных решений, эти решения не являются, я это подчеркиваю,
левоинвариантными относительно высших потоков Qi,^, / > п, данной
иерархии.
Теперь про то, как можно решить задачу Коши для (5.126) при заданных / и
fx в точке X = Х0. В методе обратной задачи, как вы помните, мы
сконцентрировали внимание на задаче на собственные значения
ются в
6*8 =
(5.124)
Условие интегрируемости для (5.124), (5.125) - это
fxx- 4*/ + 2f-v;
(5.126)
254 Г лава 5
и использовали второе уравнение (5.122), чтобы определить временную
эволюцию данных рассеяния. Для решения обыкновенных нелинейных автономных
уравнений, связанных с конечнозонными решениями, мы сосредоточили
внимание на связи
(ZutQ"-yl)V = О
и использовали задачу на собственные значения и другие уравнения Vt^Q^V в
качестве вспомогательных уравнений для определения зависимости ц от х и
tj (см. разд. 3h).
Здесь мы снова сосредоточимся на связи (5.125) и используем (5.124) в
качестве вспомогательного уравнения. Уравнение (5.125) выглядит сложно,
но если его рассматривать как функцию от |, оно в действительности очень
простое, ибо все коэффициенты рациональны по ?. Есть две особые точки,
одна регулярная (| = 0), другая - нерегулярная точка третьего порядка (|
= оо). Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что
структура фундаментальной матрицы решений полностью определяется своим
поведением вблизи особых точек. В частности, это поведение
характеризуется матрицами монодромии, описывающими, как меняется
фундаментальная матрица решений при обходе вокруг особой точки.
Около | = 0 уравнение (5.125) имеет решение вида
(г'1 о \
Ф.(|; *) = Ф(?; Х)(^ 0 VJ. (5.127)
где Ф аналитична по ? (для полуцелых v в решении общего вида, как
правило, вдобавок появляются логарифмы). Матрица монодромии /,
соответствующая ? = 0, есть
ф (&**)=<&;")/,
и J имеет вид
g-2jtfv о \
2it/1e2lt,v e2nlv J '
где /1 присутствует лишь если v полуцелое. Для v=l/2, J\ - = 2 (fx + f2 +
2X) e~2u, Ux=f¦ Заметьте, что J1X = 0.
Вблизи | = оо (5.125) имеет формальное фундаментальное решение
/е-9 0\
>P(g; JQ = >P(g; *)(0 e9J, (5.130)
оо
где Q = ilX + il3l3 и Ф = X - формальный ряд Лорана.
(5.128)
(5.129)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
255
В каждом секторе S/, (я/3)(/-1) ^ Arg g ^ (я/3)/, существует настоящее
решение Ч*1/, для которого (5.130) является асимптотическим разложением в
S/. Однако при обходе вокруг сю мы сталкиваемся с явлением Стокса. А
именно, при переходе от Si к S2, когда Arg я/3, аналитическое продолжение
асимптотического разложения в Si не является более асимптотическим
разложением аналитического продолжения настоящего решения. Приходится
умножать настоящее решение ? на "матрицы Стокса" вида
чтобы получить новое решение Ч^, асимптотическое разложение которого в S2
есть (5.130). Происходит следующее: "рецессивное" решение в Si (т. е.
решение, пропорциональное ев, которое убывает экспоненциально) становится
доминантным решением в S2, но определенное количество (вь множитель
Стокса) рецессивного в Si решения следует добавить к доминантному в этой
области, чтобы их комбинация была рецессивна в следующем секторе.
Фундаментальные решения Ч?, с асимптотическим разложением (5.130) в шести
секторах вблизи бесконечности связаны соотношениями
где ненулевые недиагональные элементы в А/ (множители Стокса) чередуются
от угла к углу. Детали проработаны в [36].
Набор матриц J, А\, А6 вместе со связующей матрицей А, которая
устанавливает связь между фундаментальным решением Ф, определенным
образом нормированным в g = 0, и Ч^, Ф = Yi^, задают данные монодромии.
(Вследствие симметрий при заданном v среди всех этих данных есть только
два независимых параметра, соответствующие неизвестным / и fx.)
Теперь мы можем сформулировать замечательный результат. Коль скоро f(X)
меняется согласно (5.126), все эти матрицы не зависят от X. Отсюда термин
изомондромная деформация. Решение (5.126) можно получить так. При
заданных /, fx в X = Х0 вычислим данные монодромии. Затем при некотором
другом X при заданных этих данных и 0 = "|Х + "|3/3 можно восстановить Ч^
и, следовательно, коэффициенты ее формального асимптотического
разложения, которые зависят от }(Х) и fx{X). Поэтому можно найти f при
всех X. Детали процедуры обращения и некоторые сведения о решении даны в
[36].
Я закончу этот раздел замечанием, что оператор gd/dg очень важен во всей
теории в целом, а не только в связи с автомо-
(5.131)
(5.132)
256
Глава $
дельными решениями. Некоторые замечания о его роли будут даны в следующем
разделе.
5g. Калибровочные преобразования и преобразования Бэклунда. Мы начнем с
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed