Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что для собственных значений ?/ столбцы (ф, ф) фундаментального
матричного решения пропорциональны.
В тех случаях, когда fx - -е\, /, = - ех (г - - q*, - q в [23]), имеется
некоторое упрощение. В частности, в первом случае tj - Vp а в последнем
?;. =- В частности, если fl = - el вещественны, то собственные значения
чисто мнимы (?/ = irj/) (солитоны, кинки) или появляются парами (^, -
(бризеры или бионы).
Обратная задача разрешается стандартно, и мы приведем здесь краткий обзор
результатов. Подробности читатель найдет в [23]. Что мы хотим сделать -
это восстановить Ф или Ч' по данным рассеяния. Зная эти функции, мы
получим Q<P, и в частности Qi=eiE fiF. Легче всего найти Qi, вычисляя
члены разложения ф и Ф или 1Д вблизи ? = оо (см. предыдущий раздел).
Рассмотрим функцию (<p(E)/a(|).)e^*, мероморфную при Im g >¦ 0, с
асимптотикой (д) при ?->оо. С функцией ф(|)е'К аналитической при ImgcO и
имеющей асимптотику при
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 247
|?|->-оо, она связана посредством (&(?)/а(|))Ф(1)е<Е* (попросту выпишите
уравнение для первого столбца Ф = ЧЛ4) на вещественной оси. Поэтому мы
хотим решить задачу Римана - Гильберта: найти функцию, аналитическую при
всех ?, имеющую лишь конечное число полюсов, с заданным поведением при ?
->- оо и заданным скачком на вещественной оси. Для решения этой задачи мы
рассматриваем при Im ? ¦< О
f _ф(?)?[^д
J a (I) (I - С) s
- ОО
и вычисляем этот интеграл дважды, сначала замыкая контур полуокружностью
? = оо, Im ? > 0, а затем заменяя ср на аф + + ?>ф и вычисляя первый
интеграл, замыкая путь интегрирования в нижней полуплоскости. Получается
¦в. *)•*¦-( J) + f т^г^+жг
1 * -ОО
где ify = ф (?,), у / = а] = (dajdQ в ? = ?,, /= I,
N - число нулей функции а(?). Следуя аналогичному рецепту, мы можем найти
линейное по ф уравнение для ф(?, х)е~^ж (Im?>0). Именно тот факт, что
скачки при переходе через вещественную ось ? линейны по ф и ф, и
позволяет линеаризовать обратную задачу.
Если мы имеем дело с безотражательными потенциалами, то Ь = 5 = 0 и
уравнения на ф, ф, ф, ф таковы:
N itf
ф(е, х)ек*=(о) + Е е-т~• Im^<0' (5-99а>
1 1
ф (? х) = ( ? ) - ^ ^ , Im ? > О, (5.99Ь)
ф (?/*) е~Ч* = (_?)- Y -1, . Im? < 0, (5.99с)
Ф (?, х)е^х ( р ) + Yj ^ ^ > 0, (5.99d)
где = ^j = bj(a'j). Пусть ? = ?fc в (5.99а, с) и ? = ?fc
в (5.99b, d); тогда полученные линейные уравнения на ф/, ф/
248 Глава 5
легко решаются. Определитель матрицы коэффициентов (с точностью до
экспоненциального множителя с линейной по tk фазой) есть т-функция.
Читателю следует разобрать односолитонный случай, который соответствует
паре ?ь Если г - -q*, то = ?*, и решения таковы:
е, = 2ti sech 0 ехр "'ф, /, = - е\,
где
6 == i Z (?* - tk + 2r\x0,
Ф = - ? (?? + k)tk + ф0
и задающие начальное положение параметры х0, фо связаны с коэффициентами
bjt bj - b*.
А теперь мне хочется, чтобы вы запомнили структуру фундаментальной
матрицы решений. Заметьте, что каждый столбец фиф имеет конечное число не
зависящих от х, tk, k = 2, ... полюсов. Мы вольны переопределить
фундаментальную солитон-
_ N
ную матрицу, умножая решение ф на ?" -#п (? - ?/), и в этом случае фе'Е*
имеет вид
(•9+?fc,.
, ь
Подобным образом можно переопределить произведение фе-'^, чтобы оно
превратилось в многочлен степени N по обратным степеням ?. Такая
нормировка достигается умножением V спра-
- "("."Л.)-
Наоборот, как это делалось в гл. 3, можно показать, что если мы возьмем
V = (и,, и2)т
с
и*=(( о)+Е j? с>^ехр (- * Е *0 ¦
* (5.100а)
U2= ((1)+Е jkC2ft) ехр (* Е &***) -
и1(а) = йи2(а) (5.100b)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
ДЛЯ Ct . . • , . . . , Ь = • • •, бдр 6р .
то столбцы матрицы V удовлетворяют соотношению
Vt, = W.
(5.101)
Элементы матриц QU) связаны с Си, Сг* и различными их производными.
Например,
(см. разд. 5е). Интегрируемость (5.101) гарантирует, что ех и /1
удовлетворяют иерархии АКНС.
Доказательство предположения, что из (5.100а, Ь) следует (5.101),
вытекает из соображений единственности, которые были описаны в разд. 3h в
связи с семейством КдФ- Во-первых, заметьте, что 2 (А+ /7) уравнений
(5.101Ь) единственным образом определяют Си, С2* как функции х, tj, / ^
2. Затем рассмотрите векторные величины
Ч/ - (о/u + ilVj 1 - exvj2, v,2x - ilv,2 - fxv,x)r
с V] = (vjX, Vj2)T, /=1, 2. Несложные вычисления показывают, что эти
функции имеют асимптотические разложения
и, кроме того, иДа)= 6u2(a). Итак, вектора vi + ui, v2 + u2 удовлетворяют
всем условиям (5.100), (5.101). Но вектора, удовлетворяющие этим
условиям, единственны (мы можем в явном виде вычислить Си, C2ft) и,
следовательно, Ui = u2 = 0. Поэтому вектора Vi и v2 удовлетворяют (5.101)
для / = 1. Доказательство для других tj аналогично.
(и) Деформации, сохраняющие римановы поверхности. В разд. 3h я показал,
каким образом конечнозонные решения семейства КдФ связаны с независящими
от времени римано-выми поверхностями, поэтому достаточно краткого
