Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 85

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 113 >> Следующая

где %2 = %, v(tk, ?) - это v, удовлетворяющее (3.1), (3.9) (в разд. ЗЬ
время, обозначаемое как tk в (5.58а) и выше, обозначалось fak-i), с
асимптотическим разложением, заданным в упражнении 3b (iii)
v(tk. ?)~ехр^/? fa - -щг-)- (5.90d)
t(fi, fa, ...) - это т-функция семейства КдФ. Читатель может проверить
(5.90а) в вакуумном случае, когда <7 = 0. Теперь (5.90Ь) можно записать
как
у = 1/ехр(-/Е Е2*-1**#),
где
V/jk = Q<'>V + V(/tfg"->),
или, разрешая относительно
Q{k)=V V~l + VtkV~x.
Читатель должен также заметить, что если взять
(?=-М( 1 ~'1()
V* \-Ц 1 )'
то уравнения (5.90f, g) для О будут отличаться лишь заменой -на ХХ*, гдгХ
= -Р + Е/%.
Дальнейшее замечание. Формулы (5.88а) и (5.90а) важны, ибо оказывается,
что с их помощью устанавливается связь между двумя ролями, которые играет
в нашем изложении алгебра Каца - Муди Л*,1*. Читатель помнит, что в разд.
4g мы обсуждали, каким образом алгебра Л(,]) выступает в роли симметрий и
как решения r(fa, fa, ...) солитонных уравнений семейства КдФ образуют
орбиту, проходящую через вектор старшего веса (т=1) в некотором базисном
представлении Л',1', орбиту, определяемую квадратичными уравнениями
Хироты. С другой стороны, в настоящей главе эта алгебра является фазовым
пространством. В разд. 5j мы увидим, что формулы (5.88а), (5.90а)
естественно возникают как коприсоединенное действие "группы" Каца - Муди
на специальный элемент е (который есть либо - iH, либо Х = -F + (?/?)). В
последующем подразделе
(5.90е)
(5.90/)
(5.90д)
240 Глава 5
мы также увидим, как (5.88а) содержит уравнения Хироты.
Выражение для ^(dV/dt). В разд. 51 мы объясним, почему оператор D =
t,(d/d%) является важным элементом теории в целом. Поэтому стоит
вычислить
(DV)V~'= +
(5.91а)
Из (5.91а) попробуйте показать, что
(V~lDV, -К'Н)о = (5.91 Ь)
Член -itJH- это VO/(-iH), градиент гамильтониана Ф/, вычисленный в точке
-iH. Уравнение (5.91Ь) является той формулой, с помощью которой
исследователи из Киото определяют т-функцию [39]. При доказательстве
(5.91) мы используем следующие факты:
с 1 ('"+-d?)"(?# f (t>+w)¦
Dc -
. . be 2 h
1 i-h '
а также (5.79) и (5.84).
Связь с теорией Хироты. Давайте попробуем взглянуть по-другому на формулу
(5.89) и запишем ее в виде
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
что приводит к четырем соотношениям:
241
(/ + Л)*_ х = --^еХ_9, ±(1+1Н)Х+в = &Х+т, ±(1+Ш)Х_р = &Х_т,
{i + h)X+x = --±fX+e.
(5.92а)
(5.92b)
(5.92d)
(5.92с)
Давайте снова докажем (5.92Ь) способом, помогающим научиться обращаться с
вершинными операторами. Коль скоро
cr = eiT, то также верно Х+а - Х+е{г - Х+е{Х+т. В силу очевидного
свойства оператора сдвига это равно t,bX+x=={2ietJ(i -
- Л))5+т. Умножение на ехр (/ ??*/*) дает (1/2) (1 + ih)X+a -
- t,eX+r, что есть (5.92Ь). Но эти уравнения также являются уравнениями
Хироты. Разложите (5.92Ь), используя
Напоминаем читателю, что нижние индексы у т, а, р обозначают частные
производные. Коэффициент при ?-2 есть
Равенства при степенях более высокого порядка, по-видимому, дают все
остальные уравнения
иерархии Хироты. Я не имею доказательства этого факта.
и
(D,2-iD?,)cr-T = 0.
Коэффициент при ?~3 включает уравнения
- j Dtfit^ а • т = О
и
Р (Dtk) а • т = О
242 Глава 5
Другой более мощный способ вывода всех уравнений Хироты состоит в
использовании тождества
\ V (х + у; ?) V~l (х - у; ?)'d? = /, (5.93)
с
где контур С - это круг вблизи ? = оо, ориентированный против часовой
стрелки, и x = (xi, х2, х3, ...), (х/==//). Подобная форма записи была
предложена Дейтом, Дзимбо, Касиварой, Мивой [39] для членов иерархии КП.
Я нахожу их доказательство слишком сложным для понимания. Лучший способ
рассмотрения (5.93) - обратиться к соображениям аналитичности и считать,
что (5.93) выражает полноту собственных состояний для yj. = QO>y. Для
обсуждения этого свойства читателю следует просмотреть третью работу из
указанных в литературе под номером [23], приложение 6.
В любом случае (5.93) говорит нам, что ^-'-компонента V(x-fy; ?)У-'(х- у;
?) есть единица. Используя (5.86), (5.87), получаем
К (х + у) =
-'(х-у)^!
Х±т -
Х+т )
' х;т я|~ ><! +1 Q
XZx
)
где верхний индекс вершинного оператора означает, что аргумент сдвинут на
плюс или минус у, т. е.
Х+х = ехр (- /? (х, + у,) - /?2 (х2 + у2) ...) X
X* (*1 + 01- -Щ. Х2 + У2--?г> •••)•
Таким образом,
т+т~К (х + у; ?) V~l (х - у; ?) =
/ XtxX+x - ~ XX aXZp - (ХХaXZx - Х+схХ±т) N
(Х±9Х+х - Х|тХ1р) XtrXZx - -^г Х±рХ+а )'
Я предлагаю вам разложить каждый член при \/% в ряд Тейлора по у- (уь у2,
...)• Вы обнаружите, что коэффициенты при У2< Уз, у\ нетривиальны, и,
приравнивая их нулю, получите уравнения Хироты.
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 243
В качестве примера я разложу матричный элемент (1, 2). Он таков:
ехр (2( ? *,) " (*, + у" + -Ij.) , (х" - у" --- ехр (-2i J] а (х" - у, +
^-) t (х, + У* - ^Jjr) •
Мы ищем компоненту ?°. Второй член получается из первого заменой ?/*->-у
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed