Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 83

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 113 >> Следующая

координаты х мы берем время tj (и тогда е/+л, fi+r, г > 0, мы выражаем
через еи ег, ..., е/, /ь // и их производные по x = tj), сохраняющиеся
плотности суть Fkj, а гамильтонианы - это
Здесь я упомяну без доказательства (интересующийся читатель может найти
его в [38]), что сопряженными переменными являются в этом случае не (еь
//), (е2, fj-i), • (е/, /i), а
(ёь /,), ..., (ё,, где ёп fr - коэффициенты перед 1~г в формальных рядах
разложений e/V* - h и //Уi - h вблизи ? = oo. Для j == 1 и 2 сопряженными
переменными являются (ej, /1) и (ei, /г), (ег, /i) соответственно, но при
больших j они другие.
Наконец, оказывается, что удобнее использовать вир, определенные
соответственно как хв\ и т/ь в качестве скалярных потенциалов для рядов
ей/.
Мы видим, как можно заменить тройной бесконечный ряд уравнений (5.55)
тремя скалярными уравнениями на потенциалы т, а и р. Естественно задать
вопрос: каким уравнениям они удовлетворяют? Это можно вычислить
непосредственно. Из
(5.55) имеем
где индекс / обозначает частную производную по tj. Теперь вернемся к
формулам (4.36), (4.37) разд. 4с, где определяются операторы Хироты.
Уравнение (5.65) - это просто
^ Fk+ijdtf
-2ie*+i
что означает
2
дг In т
Получаем
ст*т - стт* = ± (orlfe_,T - OiTk_i - ог*_1х1 + огт14_,), (5.65)
{D*k-iDUD*k-t)a'x = °-
(5.66)
3 Глава 5
Аналогично
(d'"-t°<A-,)i>""0- <5-67>
Третье уравнение получается, если заметить, что
Л2 = - '"о" In т = -- eJi 2 dt\ 2
переходит в
Dfx • х = -2огр. (5.68)
Из этих уравнений легко вычислить многосолитонные решения. Для этого
удобно произвести замену независимых переменных
2 itk->tk
(заметим, что новое время чисто мнимое), после чего уравнения Хироты
принимают вид
[Dtk -DtiDtk l)a ¦ т = 0, (5.69а)
р.т = 0, (5.69Ь)
D2t x • т = -|- сгр. (5.69с)
Ищем решения в форме
/ N N _
т, с, р = ? DX, ст, р (и. v) ехр ( ? р,я,+ ? ъНг +
Pr.Vs-°. 1 V 1 1
-j- ? Arsvrvs -j- ? I3rsnrvs 'j,
1 <r<s<N 1 <r<s<N r,s~ 1 /
где
Hr=Z&k, яг = - ? l)tk,
D = f 1, если ?p,= ?vr
* I 0
= { 0 °"={ "o
О в противном случае, если ? pr= ? vr+ 1, в противном случае,
- 1, если ? pr + 1 = ? v, в противном случае
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 233
Для еь h общего вида \k не связана с Однако если f\ = - e\, то lk = Ck,
где ?к - это величина, комплексно сопряженная с
Каждое из уравнений Хироты (5.69) записываются в форме P(Dtk)f-g = 0,
(5.71)
где Р таково, что
Я(0) = 0, (5.72а)
Р(С*) = 0. (5.72Ь)
При выводе (5.70) широко используется правило
Р (Dt^ ехр ( X а\Щ^ • ехр ( X 4*4) =
= Р (4° - 4Л) ехр ( X (а[к> + 4*0 О- (5.73)
Как и раньше, сдвиги фазы Ars, и одинаковы для каждого члена иерархии
si(2, С). Поэтому, как и в гл. 4, мы
можем определить все многочлены в этой иерархии, как только
заданы все сдвиги фазы. На каждом уровне (уровень - это сумма индексов в
уравнениях Хироты, например, уравнение (5.69а) принадлежит уровню k)
существует много (попробуйте вычислить, сколько именно) уравнений Хироты,
которые совместны друг с другом.
Упражнение 5d
Вычислить односолитонное решение, когда
/i = - 4>
N=\, ?, = ^ = 6-/4;
я, = 2/ХФ*. я, = -2/Хс!\;
т = 1+ехр(Я, + /71 + В11), сг = -ехрЯ,, ехр 4ii;
Я (tk) = Т = 2tl еХР С^ТГ^) sech ±ВП ) 5
i (я, + я, + fl")=* ? (sf - *К + вп/2;
т(й.-".)"-'?(е?+0'"-
5е. Задача на собственные значения, асимптотическое разложение и
вершинные операторы. Цель этого раздела - ввести
234 Глава 5
собственную функцию V(tk\ ?) и получить некоторые ее свойства:
(i) ее асимптотическое разложение вблизи ? = оо;
(ii) то, что фазовое пространство Q{tk) является орбитой, проходящей
через элемент -iH\
(iii) разложение для %dV/д%\
(iv) связь между V и уравнениями Хироты.
Введение V{tk\ ?). Мы вывели иерархию si(2, С), не вводя вспомогательных
переменных. Как они появляются в общей картине? Ответ очень прост.
Уравнение в форме Лакса
Qtk = lQ(k), Q] (5.74)
тут же позволяет искать решение в виде
Q=KQ0K-1. (5.75)
Подставляя это в (5.74), убеждаемся в том, что <30 не зависит от всех tk
и что
Vtk = QMV. (5.76)
Конечно, верно и обратное: как мы показывали в разд. Зс,
(5.74)-^ это условие интегрируемости уравнений (5.76). Хотя
(5.75) не решает (5.74) в явном виде, сама форма
записи в таком виде полезна. Она наводит на мысль, что
потоки (5.74) яв-
ляются редукциями более простых потоков на большем многообразии. Подробно
мы обсудим эту идею в разд. 5j.
Асимптотическое разложение V вблизи ? = оо. Так же как в случае иерархии
КдФ, полезно поискать формальное асимптотическое разложение для V{t\, t2,
...; ?)
у ~ - т Е "~?~F ")exp (("1Е ?tk+¦ф) я+ф) ' (5-77)
где ф и ф - ряды по обратным степеням ?. Имеют место следующие
результаты:
er = br-h ^ ? ¦Ат6л> (5.78а)
m+n-r v
m щЬ 0 ¦
fr~cr + T Е Нт°п' (5.78b)
т+п=г
т ?• о
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 235
Они записываются в компактной форме
2 ie = b(i - h), (5.79а)
2if - с (i - Л), (5.79Ь)
где( Л0 = -I, hi = 0)
ОО ОО 00
h = Yj1T' е== XIT'
1 1
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed