Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 81

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 113 >> Следующая

полем хау генерируемым гамильтонианом Ф/. В [39] нами доказана теорема,
гласящая, что единственными векторными полями, удовлетворяющими этому
условию, являются векторные поля, порождаемые' при помощи выбора в
качестве гамильтониана линейной комбинации Ф*.
Второй момент состоит в том, что в рамках подхода алгебр Ли величины
гамильтонианов Фк (которые для набора канонических уравнений мы выбрали
равными Фо= 1, Ф* = 0, k ^ 1) не имеют значения. С другой стороны, в
подходе дифференциальной алгебры значения гамильтонианов Hk важны. Они
являются интегралами сохраняющихся плотностей, интегралы движения которых
могут быть непосредственно сопоставлены данным рассеяния (параметры для
непрерывного спектра и солитонов) при помощи формулы следа (см. (3.70),
(3.71), (3.72) и [75]).
Упражнения и примеры. Сейчас мы обсудим три примера, используя
алгебраический подход. Первым является гармонический осциллятор, вторым -
конечная цепочка Тоды и третьим - новый способ разложения si(2, С), при
котором семейства КдФ и мКдФ возникают естественным образом без
привлечения требования f\--1 или f\-±e\. В разд. 5h я покажу, как при
рассмотрении альтернативных градуировок si (2, С) это новое разложение
появляется естественным образом.
Упражнения 5с
1. Возьмите G = si (2, С), X = hH + еЕ + fF, <X, У> = Тг XY. Найдите
такое разложение G = К + N, что Q, произвольный элемент пространства Кх,
имеет вид hH + еЕ. Единственная (с точностью до умножения на число) ad-
инвариантная функция Ф - это -(h2-\-ef); при этом -VCD '(X) - hH + еЕ +
fF. Покажите, что гамильтоново векторное поле на Кх запишется так:
Q= Q]== Q ]>
откуда следует
h - 0, ё -¦ 2 he.
224
Глава 5
Для мнимых h и комплексных е это есть уравнение гармонического
осциллятора.
2. Рассмотрите алгебру Ли бесшпуровых п X /г-матриц
6] di
Ci b2 а2 ' ' б] с2 . t
ап-\
ь,
сп-1 ип
с обычным матричным коммутатором; <Х, У> = Тг(.ХУ). Возьмите разложение
0 а, rf] 6,
- а, 0 а2 d2 ci + а,
х = d\ - а2 . • а"-| + rfj + С] с2 + а2 .
- "я-1 0 . К + сл-1+ал-1 V N,
где К - кососимметричная, а N нижнетреугольная матрица. X также может
быть разложено в К1- + N1-, где /С1 - множество симметричных матриц
Q-
Ь\ а, d\
а, ^2 Ог
а2 •
1
ап-1 Ьп
a NL состоит из строго нижнетреугольных матриц О
ci - а,
- d\ с2 - й2
с"_| - fl"-i О
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
225
К и УУ (в отличие от KL) суть подалгебры.
Ф(а, Ъ, с, d, е, ...) = уТгХ2
- ad-инвариантная функция с градиентом УФ(Х) = Х. Гамильтоново векторное
поле на задается так:
Q = - [n#V(r)-(Q),'.Q] = я*х [я*УФ (Q), Q] = [якуФ (Q), Q].
Поэтому уравнение движения есть ф = [Б, Q], где
ai dt
В =
О
- <2) О
~dx
02
ап-1
ап-\
О
Отметим, что если мы ограничимся трехдиагональными матрицами X (т. е.
если d - e= ... =0), то матрица Q симметрична и трехдиагональна. Далее, Б
= я*УФ(ф) и коммутатор [Б, Q] также трехдиагональны. Следовательно,
гамильтонов поток, порожденный Ф, сохраняет трехдиагональную структуру Q.
Следовательно, мы можем сделать согласованную редукцию к трехдиагональной
форме и получить более простой набор уравнений. В компонентах они
записываются так:
ЬГ = Ъ2 - 2aZr-u r= 1 п, Oq = ап = 0,
ar = ar(br+l - br), r= 1 п- 1.
Положим
a, = yexp-j(u,- u,+1), br = - y"r.
Тогда уравнения превратятся в
иг = е
¦ eur-ur+i, r= 1,
п, "0= - о(c), иа+i-оо.
Эти уравнения описывают конечную цепочку Тоды (см. упражнение 2b(iv) в
гл. 2), у которой нулевая и (я+1)*я частицы удалены на разные
бесконечности. Решение этой системы дано Мозером в [98], а Констант [99]
описал весьма подробно ее алгебраическую структуру.
8 А. Ньюэл
226 Глава 5
3. Рассмотрите другое разложение алгебры si(2, С), G - = K + N, где
м
N = X Х-/Х* + воЕ + hoH,
1
оо
К = X (А/Я + е,Е + fiF) ¦ Х~' + f0F /-1
с внутренним произведением1), определенным с помощью (5.41). Тогда
произвольный элемент Q в пространстве К1 имеет вид
оо
Q = h0H + f0F + S (h/H + e,E + f,E) X4.
Для набора ad-инвариантных функций
Ф k = -(h2 + ef)k,
где h, е, f - ряды (векторы с бесконечным числом компонент), а индекс
относится к члену при X~k, мы положим величины CDi = 1, Ф* = 0, 6 ф 1.
Это означает, что мы взяли ho - 0, fo = 1, е\ = 1. Выбор этот аналогичен
сделанному ранее в этом разделе выбору 60 = -г, во = fo = 0. Величины
QW^-^VOMQ)
имеют вид
6=1, -XF + hiH + Е,
6 = 2, - X2F + X 0hxH + Е + /,F) + hJH + е2Е, (5.57)
6 = 6,- - А*77 + А*-1(А1Я + ? + /177)+ ...
+ Xk-r(h,H + е,Е + frF)+... + hkH + ekE. Покажите, что уравнения
Qtk = [Q(ft). Q] (5.58а)
') Мы увидим в разд. 5h, что это разложение совершенно естественно и
соответствует главной градуировке si (2, С).
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 227
имеют вид
(/-1. ft)
h/, tk=:ei+k + 2 (erff+k-r - fr^t+k-r) + (5.58b)
(/-i. ft)
6j f.=2 2 {hr&j+k-r ^r^i+k-r)> (5.58c)
r= 1
(/-i. ft)
fhtk = -2hl+k-2 ? (Kft+k-'-frhi+k-l-Zhih, (5.58d)
fa* 1
где обозначение (/-1, k) означает, что суммировать можно либо до /- 1,
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed