Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 80

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 113 >> Следующая

частью большой иерархии, связанной с si(2, С): перефразируя Редьярда
Киплинга,
Система АКНС
И вся иерархия НУШП
Как сестры родные близки
(И). Несмотря на то что выбор si(2, С) был обусловлен записью
интересующего нас уравнения в виде условия интегрируемости, после того
как задана G и ее разложение на две подалгебры К я N, потоки возникают
естественным образом без ссылок на какую-либо концепцию вроде
изоспектральной деформации. Все те или иные "изо" вытекают как
естественные следствия наложения дополнительной структуры аналитического
характера. До сих пор все осуществлялось чисто алгебраическим путем.
(iii). При построении иерархии АКНС различные Q& были выражены в терминах
q, г (здесь ей fi) и их производных по х. Формула (5.52) представляет
собой просто систему уравнений для бесконечного набора переменных {hr,
er, fr} как функций бесконечного числа времен {ti, t2, ...}.
(iv). То, что все потоки иерархии АКНС коммутируют, тривиальным образом
следует из общей теории.
Читателю следует самому проверить следующие факты:
(a) Oft(Q) являются коэффициентами при в рядах
оо
- (1/2) Tr Q2 = (л2 + е/), где Л, е, f='Z(hr, е" /,)?_г.
о
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 221
(b) Скобками Пуассона для hr, ег, fq являются
{hr, <?s} = er+s, {hr, fs) = fr+s> fs}== (5.54)
остальные скобки равны нулю.
(c) Уравнения для hr, ер, fq могут быть получены либо из
(5.54), либо из (5.52) и имеют вид
min(/ -1, k)
&i*tk== ^ ^ (hr€j + k-г €rhf+k-r)i
min(/-1, k)
fi.tk = ~ 2 Z (hrfl+k_r-frh{+k_ r), (5.55)
min (/-1, k)
hlJu- Z (erfj + k~r frel + k-r)'
0
Отсюда немедленно следует, что ho, е0, fo, hi не зависят от всех tk.
Выберем ho = -i, ео = fo== hi = 0 в качестве определения канонических
уравнений. Заметим также, что Л2 + ef не зависит от tk и в соответствии с
нашим выбором ho, во, fo можно выбрать эту константу равной -1. Отсюда hk
определяются как линейные комбинации произведений ей f. Читателю также
следует показать, что все Qk = hkH + е*? + fkF могут быть записаны как
функции от е\ (q) и fi(r) и их производных по х. Например, е\, t, = -
2ie2, в2, t, - -2te3 - 2h2ei, h2 = - (i/2) eifi, откуда e2 = (i/2) ex u,
e3 = - (1/4) (ei, uu - 2e2/1). Заметим также, что уравнения (3.42а)
(обобщающие НУШ) представляют собой просто е\, t,= -2ie3 и fi, и - -2if3.
Более того, мы можем также записать все Qk, k^3, как функции от е\, fu
е2, f2 и их производных по t2. В качестве следующего упражнения читателю
следует записать уравнения для е\, fi, ег, f2 в виде уравнений в частных
производных по t2 и t4. Можете ли вы найти согласованную редукцию (e2 =
f2 = 0, /{ = ±е\), которая дает НУШ с производной
Ut, - iut,u ± (u2u)t?
(Подсказка: вам необходимо совершить преобразование вида ех ~ и ехр (га ^
uu dt2) . )
(d) Связь между подходом алгебр Ли и вариационной гамильтоновой
структурой.
После того как выбрана х, скажем tu можно рассмотреть фазовое
пространство, являющееся дифференциальной алгеброй, состоящей из
многочленов от е\ = q, fi = г и их производ-
222 Глава 5
ных по х произвольного порядка совместно с символом д/дх, который
трансформирует q в qx, qx в qxx и т. д. Оно является фазовым
пространством, которое наиболее часто изучалось ([40], [106]) и допускает
следующий гамильтонов подход. Рассмотрим
Hk [q, г] = -щгх J Л6+2 {q, г, qx, гх, ...) dx (5.56а) и вариационный
градиент Фреше
V7W 6Hk Шл.
V б q ' Ьг '
где
ЬНк 4 У' / , ds dhk+i /с crci.\
<6-56b>
и 8Hk/8r определяется аналогично. Символом обозначается dsq/dxs. В 8Hk/8q
читатель узнает частную вариационную производную, т. е.
lim ¦-j Hk [q + е6<7, г] = J бq dx.
Потоки (5.52) могут быть записаны в виде
=JVHk, (5.56с)
где J - (_° J). Для доказательства этого см. [75]. Скобки Пуассона двух
функций F[q, г], G[q, г] имеют вид
{F, G} =^JVF- VG dx, (5.56d)
где V-вариационный градиент. Доказательство того, что Hk, определенные
формулой (5.56а), находятся в инволюции под действием этих скобок, также
приведено в [70], [75]. В разд. 5d я расскажу о том, что является
гамильтонианом и сопряженными переменными, если в качестве особой
переменной х выбрана tf, /> 1-
Сейчас я хочу подчеркнуть два момента. Первый состоит в том, что
солитонные потоки, порождаемые в подходе посредством алгебр Ли с помощью
ad-инвариантных функций Ф*, являются особенными, если также потребовать,
чтобы имела смысл интерпретация с точки зрения дифференциальной алгебры.
Основанием этому является то, что если х должна быть
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
223
особой в том смысле, что все величины, подобные еь и т. д., мы можем
понимать как функции независимой переменной х, то на Кх допустимы только
такие векторные поля (соответствующие выбору других независимых
переменных tk, tk?=x), которые коммутируют с x = t\. Поэтому если мы
хотим свободы в выборе любого t\ в качестве выделенной х, то в Кх мы
должны выбрать только те векторные поля, которые коммутируют с векторным
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed