Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
F 1 2 Fx 3 2 Fy 2 -Hi 2 0 3 2 F, + 2 [FjX,]
3 -Я* -2Xi 0 2 2Ft
Я 3 2Ху 1 2 Ег 1 -2 Fo 2X2 1 2 E.y
I -2 F3 2 0
Я, 3 2 Ei + [ЯХ,] 3 -2 Fi - [ЯХ,]
3 2 Es + [Mil 3 -2 F3 - [Mi]
Ei 3 Ho +Xi
Fi
Я2
Е,
F2 1
Яг
зис sl (2). Однако непосредственно из нелинейного уравнения Шрёдингера
само по себе не следует, что Х,- = 0, j - 1, 2, ... . Ясно, что такой
выбор совместим с (5.13), однако не является обязательным. Причина того,
что Х,- = 0, / = 1, 2, ..., связана со вторым определяющим принципом, а
именно требованием, чтобы уравнение (5.1) принадлежало бесконечному
набору коммутирующих потоков. Однако, прежде чем наложить это условие, мы
будем исследовать алгебру, генерируемую п-м уравнением иерархии АКНС.
(iii) п-я пара уравнений иерархии АКНС. Можно записать п-ю пару уравнений
иерархии АКНС в виде
4tn = Ьпх - 2anq, Пп = спх - 2 апг,
(5.14)
212 Глава 5
где ап, Ьп и сп определены итеративным образом из
&sx 2asq> (5.15а)
2ic,+ i - сsx "1" 2asr, (5.15b)
asx - rbs - qcs, s = 0, 1, ..n- 1, (5.15c)
a0 = - i, bQ - cQ - 0. (5.15d)
Константа интегрирования для as выбрана нулем. Мы предположим и затем
проверим, что
1. qbs, rcs, qcs, qas, ras и as функционально независимы; rbs = qcs +
asx.
2. qbs и rcs не являются полными производными по х, исключая s = 2; в
этом случае
ге'=("-т)"-
Мы хотим выбрать Р, Q<n) так, чтобы (5.14) являлось условием
интегрируемости
Q'n) + [Q(n), P] = Ptn (5.16)
пары уравнений
VX = PV, Vtn = QWV. (5.17)
Опять же можно обосновать выбор
P= - iH + qE + rF, (5.18)
откуда (5.16) представимо в виде
О?' + [Q(n), Р] = (Ьпх ~ Zanq) Е + (спх + 2anr)F. (5.19) Непосредственно
проверяется, что мы можем записать
QW = - anHQ + bnE + rnF + QC1-1), (5.20)
где
Q*"_1,+ [Q(n_1), P] = (bn-lx-2an_lq)El + (cn_lx + 2an_lr)Fl. (5.21)
Для того чтобы из (5.20) получить (5.21), мы должны определить
[Е, F] = H0, [Н, ?] - 2EU [H,F] = -2Fl; (5.22)
заметим, что [bnE + cnF, qE + rF] - -апхНо, и используем (5.15а, Ь) с s =
n-1. Кроме того, функциональная независимость anq, апг налагает условие
[Н0, Е] = 2Е, [Но, F] - - 2F. (5.23)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 213
Далее, уравнение (5.21) представляет собой попросту уравнение (5.20) в
других обозначениях, поэтому можно повторить процесс и получить
Q(n)=Z Qs + Qf2), (5.24)
s=n
где
Qs = - asHn-s + bsEn_s + csFn_s (5.25)
и
Qx} + [Q(2), P] = (b2x - 2a2q) En-2 + {c2x + 2a2r) Я"_2 (5.26) со
следующими наложенными соотношениями. По определению [Я, En_s] = 2En_s+l,
[Н, Fn_s] = -2Fn.s+U [Е, Fn_s] = Я"_2,
(5.27)
в то время как коэффициенты при an-sq, an-sr, an-s, qbn~s, rcn~s дают для
s = n 3
[Я"-", Я] = 2En_s, [Hn_s, F] = -2Fn_s,
[H, tf"_J = [Я, En_s] = [F, Fn_s] = 0. ^ >
Из этого факта, что rbn-s - qcn-s = an-sx, мы находим
[En-s, F] = [E, Fn_s] = Hn_s. (5.29)
Используя тождества Якоби, определяем, что при всех р + q ^ ^ п - 3
[Яр, Я,] = 2Яр+" [Яр, Fq] = -2Fp+q, [Ер, Fq] = Яр+<7; (5.30а)
все остальные скобки этого порядка - нули. Причина, по которой мы не
можем продолжить таблицу, состоит в том, что при s = 2 мы сталкиваемся с
аномальным поведением, описанным в предположении 2. Решая (5.26), находим
Q(2) = ь2Еп_2 + с2Я"_2 - а2Ип_2 + [Е, Я"_2] -
- -х lF> рп-2] + + <цЯ"_, - Ш", (5.30Ь)
где на новые элементы наложены следующие ограничения:
ф: [Я, [Е, Я"_2]] - 0, (5.31а)
г3: [Я, [F, Я"_2]] = 0, (5.3lb)
qh\ [Я"_2, Е] = 2Я"_2 - (1/2) [Я, [Я, Я"_2]], (5.31с)
qr2: [Нп^2, Я] = -2ЯП^2 + (1/2) [Е, [Я, Я"_2]], (5.31d)
q2: [Е, + (1/4) [Я, [Я, Я"_2]] = 0, (5.31е)
214 Глава 5
г2: [Я, Я"_,] - (1/4) [Я, [Я, Я"_2]] = О, (5.3И)
qr: -(1/2) [Я, Я"_2] + [Я, Яп_,] - [Яп_" F] = О, (5.31 g)
q: [Ня, Я] = [Я, (5.31h)
г: [Я", Я] = [Я, /=¦*_,], (5.311)
1: [Я", Я] = 0. (5.31 j)
Заметим, что если п = 2, ЯП_2 = Я0 = Я, Яп_2 = F0 = F и (5.31) сводится к
(5.10). Так же как в случае п = 2, тождество Якоби приводит к тому, что
[Я, Я"_2] = 0 и [Е, Fn-\\ = [Er, Fs] =
= [?"_!, Я"_i], r-(-s = n-1. Точно так же, как при п - 2, мы
можем бесконечно расширять эту алгебру, определяя новые элементы согласно
правилу
[Я, Ег] = 2Ег+и [Я, Я,] = -2Я,+1, [E,Fr] = Hr+u
Полученная алгебра бесконечномерна и содержит в себе si (2), но по-
прежнему оставляет неопределенными элементы
[Я, Я;], j>n- 1, [Е,Ея_2], [Я, Я"_2]. (5.32)
(iv) Наложение условия коммутативности. Мы видели, как любая пара
уравнений иерархии АК.НС, взятая изолированно, порождает, после
бесконечного расширения, бесконечную алгебру, содержащую si (2) в
качестве совместного решения, но оставляющую неопределенными коммутаторы
(5.32). Легко заметить, что это вырождение устраняется требованием
взаимной коммутируемости потоков. Если мы потребуем, чтобы q, г являлись
решениями первых двух пар уравнений в иерархии АК.НС, то дополнительно к
(5.16) при п = 2, 3 мы должны получить
- Q'f + [QW, Q<3)] = 0. (5.33)
Эти условия означают, что элементы Нр, Eq, Fr удовлетворяют таблице
