Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(так как коэффициенты при q2rx, r2qx и rqx - qrx должны обратиться в
нуль) и поэтому принадлежит центру. По этой причине она не дает никакого
вклада в коммутатор уравнения (5.2) и является просто проявлением закона
сохранения Pt - Qx (уравнение (5.2) без коммутатора), который в данном
случае имеет вид (qr)tG= = (г'/2) (rqx - rxq)xG. Так как эта информация
уже содержится в уравнениях, мы будем без потери общности просто опускать
этот элемент.
По этой причине принимаем
Р = - iH + qE + rF, (5.5)
и с учетом (5.1) уравнение (5.2) преобразуется в
Qx = [Q. P] = i- 2^E~i(Г" - 2^ F• (5-6)
Теперь решим уравнение (5.6) относительно Q; сначала запишем Q =(i/2)qxE-
(i/2)rxF + Q{q, г). Затем, собирая полные производные по х из
коммутатора, определим Q = qE\ + rFi - - (i/2)qrH0 - i#2, где Я0, Еи Fi
заданы формулами
[Е, F] = Н0, [Н, Е] = 2Еи [Н, F] = - 2Ft (5.7)
и -г'#2 - это просто постоянная матрица - константа интегрирования.
Поэтому выполняется равенство
Q = - iH2 + qE{ + г Ft + ЯхЕ ~jrxF~ ±-qrH0, (5.8)
обеспечивающее соотношение
[Q, Р] = - iq2rE + iqr2F. (5.9)
Приравнивая коэффициенты при q2r, qr2, q2, г2, qr, q, г, 1, мы находим,
что
q2r: [Н0, Е] = 2Е, (5.10а)
qr2: [H0,F\ = ~2F, (5.10b)
q2: [?,?,] = 0, (5.10c)
г2: [Л/7,] = 0, (5.1 Od)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
209
qr: (1/2) [Но, Н] + [Е, Е:] - [Е" F] = 0, (5.10е)
q: [Н2, Е] - [Н, Ех\, (5.1 Of)
г: [Я2, F] = [Н, Е,], (5.10g)
1: [Я2, Я] = 0. (5.1 Oh)
Здесь необходимы некоторые замечания.
1. Набор коммутационных соотношений не замкнут. Их перечень будет
приведен в табл. 2.
2. Набор (5.10) содержит замкнутую подалгебру si (2) Я0, Е, F (см. (5.7)
и (5.10а,Ь)).
3. Поясним, в каком смысле солитонные уравнения содержат взаимную
компенсацию нелинейности (представленную здесь слагаемыми q2r, qr2) и
дисперсии (qxx, гхх). Уравнения (5.10а, Ь) возникли как следствие
взаимной компенсации [- (i/2)qrHo, qE + rF] и -iq2rE + iqr2F. Однако
последний член возникает непосредственно из нелинейности в уравнении, в
то время как предыдущий является результатом интегрирования произведения
интегралов линейных членов qxxE и rxxF с qE + rF. Если бы
нелинейными членами были q3r2 и q2r3, никакой баланс не был
бы
возможен и единственно возможной парой Р, Q была бы тривиальная пара Р ~
qrG, Q ~ (rqx - rxq)G, выражающая существование (единственного) закона
сохранения. В этом заключается одно из реальных преимуществ метода
Уолквиста - Эстабрука. Несолитонные уравнения быстро демонстрируют свои
несообразности!
4. Согласно тождеству Якоби, из (5.1 Ое) следует
[Я, Я0] = о (5.101)
[Е, Fl] = [El, F], (5.10j)
и мы определяем
[Е, Et] - Ну. (5.10к)
5. Последние три уравнения (5.10f,g,h) определяют Я2, произвольную
константу интегрирования; они не дают никакой информации о том, что мы
должны рассматривать в качестве базисных элементов Я, Е, F, с помощью
которых порождаются все остальные элементы. Например, [Нх, Е] = 2ЕХ и,
как мы увидим при составлении таблицы для (5.10), [Я, ?i] = 2?2 и так
далее. Однако Я2 можно использовать для искусственного замыкания
коммутационных соотношений. Положив Я2 = ?Я, где ? - произвольная
константа, удовлетворим соотношению (5.1 Oh). Тогда [Н2, Е){= ? [Я, Е] =
2Е\, и (5.10f), (5.10g) дают [Я, Ex] = 2\Ei и [Я, Ei] = -2соответственно.
Мы получаем табл. 1.
210 Глава 5
Таблица 1
Но Е F Н НI Ei Fi
Но 0 2 Е -2 F 0 0 2 Ei -2 Fi
Е 0 Но <м 1 -2Ei 0 Hi
F 0 2F, 2 Fi - H ! 0
Н 0 0 %Ei -2 IFi
Н1 0 2 ZEi -25Fi
Ei 0 Wi
Ei 0
Эта алгебра допускает хорошо известное представление Я = Я1 = ?Я0, ?, =
??, Fx = tF,
(\ 0\ /'О 1\ fO 0\ ( - и
я° = (0 -1 J' ? = (о oj' F = w о)'
Искусственное замыкание является средством, с помощью которого Уолквист и
Эстабрук в контексте уравнения Кортевега- де Фриза пришли к выражению для
Р и Q, и именно в этом направлении действовали последующие авторы [97].
Теперь мы вновь займемся исследованием таблицы, не делая никаких
предположений о замыкании. В табл. 2 числа в правых углах клеток
означают: 1 - по определению; 2 - непосредственный вывод из (5.10); 3 -
следствие (5.10) и тождеств Якоби.
В качестве упражнения по применению, тождества Якоби я предлагаю читателю
завершить заполнение таблицы. Заметим, что если элементы
[Н,Н,] = 2Х" /=1,2.................. (5.12)
равны нулю, то элементы Нр, Eq, Fr подчиняются соотношениям [Нр, Eq] =
2Ep+q, [Hp,Fr] = -2Hp+r, [Ея, Fr] = Hq+r,
[Нр, Ня] = [Ер, Eq] = [Fq, Fr) = 0 {ЬЛ6)
(в табл. 2 индекс 1 мы связываем с Я). Алгебра, определенная
соотношениями (5.13), является тем, что мы называем si (2), а именно
каждый член может быть представлен как произведение элементов Нр = lPH,
Eq = tqE, FT = ?F, где H, Ё, F - ба-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 211
Таблица 2
Но Е F Н Ну Ei Fi Нг Eo F 2 Яг
Но ГО 14 ю 2 -2 F 2 0 3 0 3 2 Ei 3 -2 Fi 3 0
ro Frj CO 3 -2 F2 3 -iXy
Е 1 Но 1 ~2Еу 3 -2 Еу 2 0 1 Hi 3 -2 E2 -2 [ЯХ,]
3 0 1 H2 2 -2 E2
