Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
203
щим элементом служит Х= Х_ .t,1, Х_ = h_ Н + е_ Е + f F.
_оо ill j j
Число независимых градуировок связано с числом независимых автоморфизмов
конечного порядка исходной алгебры. Для si(2, С), элементы которой мы
разложили в элементы двух подалгебр К и N со степенями меньше нуля и
больше или равной нулю соответственно, существуют две градуировки.
Первая, называемая однородной градуировкой, приводит к появлению потоков
АКНС, вторая, называемая главной градуировкой, - к семействам КдФ и мКдФ.
В разд. 5i мы вводим вторую гамильтонову структуру, возникающую при
изменении определения понятия внутреннего произведения на алгебре.
Оказывается, что такая структура более удобна в разд. 5j, в котором мы
покажем способ представления уравнений Лакса = Q] в виде редукции
существенно
более простого потока в фазовом пространстве большей размерности.
Редукция достигается использованием симметрий, которыми обладает система
уравнений. Идея, лежащая в основе этого, не нова. Давно известно, что
если /п-мерная гамильтонова система имеет п ^ т интегралов движения,
находящихся в инволюции (эквивалентных в силу теоремы Нётер п
симметриям), то размерность фазового пространства может быть снижена от
2т до 2 (т - п). Если т - п, говорят, что система полностью интегрируема.
В разд. 4с я показал, каким образом двумерную систему, описывающую
движение прикрепленной к пружине массы на плоскости, можно свести к
одномерной системе (описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением
второго порядка) с помощью закона сохранения момента количества движения,
который соответствует вращательной симметрии, присущей задаче. Для
уравнений Кортевега - де Фриза и нелинейного уравнения Шрёдингера
некоторые из бесконечного числа интегралов движения допускают простую
физическую интерпретацию, подобно закону сохранения массы, импульса,
энергии, числа частиц, плотности тока и т. д., но большинство такой
интерпретации не имеет. По этой причине они названы скрытыми. Однако, как
только мы идентифицируем алгебру Ли G, которой принадлежат решения
уравнений, их сущность становится известной. Если G- соответствующая
группа Ли и К, N - подгруппы, соответствующие подалгебрам К, N, то верно
следующее. Большое симплектическое многообразие, на котором потоки
являются простыми (так же как для переменных действие-¦ угол, половина
переменных константы, другая половина меняется линейно со временем), -
это T*G, кокасательное расслоение G. Группой симметрии, с помощью которой
мы редуцируем фа-
204 Глава 5
зовое пространство T*G, является К (абстрактный аналог классической
теоремы редукции, доказанный Марсденом и Вейнстей-ном [88]), за которым
следует (тривиальная) редукция по N. Редуцированным фазовым пространством
является N*, и именно на нем "живут" решения Q уравнений Лакса Q^ =
[Q(ft), Q].
Более того, процесс редукции в принципе дает нам способ решить уравнения
Лакса. Ключевой шаг состоит в том, что элемент g из G разлагается в
произведение k~ln, где левый и правый множители принадлежат К и JV
соответственно. Этот шаг алгебраически эквивалентен задаче Римана -
Гильберта. Это разложение дает нам еще одну прекрасную возможность
определить т-функцию. Она возникает как бесконечномерный определитель (мы
напомним, что вначале она появилась в качестве потенциала; см. разд. 4b,
5d). Все это делается в разд. 5j. В конце этого раздела мы демонстрируем,
каким образом формальное решение уравнений Лакса также приводит к
алгоритму преобразования решения одного типа в другое и, в частности, как
из вакуумного состояния строятся многосолитонные решения. Этот алгоритм
оказывается полным аналогом схемы "одевания", предложенной Захаровым и
Шабатом. Одновременно мы обсудим также отображение фазового пространства
совместным действием потоков и преобразований Бэклунда, являющихся
непрерывными симметриями семейства уравнений, а также преобразований
Бэклунда - Шлезингера, представляющих дискретные симметрии. В случае
главной градуировки, порождающей семейства КдФ и мКдФ, при которой у
солитонных уравнений существует лишь одна т-функция, преобразований
Бэклунда - Шлезингера нет. В этом случае, как мы обсуждали в разд. 4g,
можно проследить соответствие между появлением алгебры Каца - Муди в
качестве фазового пространства, с одной стороны, и в качестве алгебры
симметрий - с другой. Для однородной градуировки, в которой присутствуют
дискретные симметрии, полного соответствия достичь значительно труднее. В
разд. 5к мы присоединяем к потокам Q<ft = [Q(ft), Q], k^O,
потоки, соответствующие отрицательным значениям времен tk, k<0.
Наиболее знакомые примеры представлены уравнениями sin-Гордон и массивной
моделью Тирринга. Этот материал является новым.
Наконец, в разд. 51 мы обсудим изменения, необходимые, когда в качестве
фазового пространства выбирается расширение алгебры петель.
Дополнительными элементами являются производная и центр. На полезность
включения внешних элементов существует много указаний; например, при их
