Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 45

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 113 >> Следующая

выполняется для всех <7(х) с компактным носителем..
4. Рассмотрите q(х) = 2r|2 sech2г\ (х - х) и покажите, что
преобразованием thr)(x- x) = t уравнение (3.51) может быть превращено в
присоединенное уравнение Лежандра. Покажите, что R(g)= 0. Получите в
явном виде а(g), собственные функции и собственные значения (есть только
одно gi = /т|) и нормировочную константу Ь\ и покажите, что
q (х) = 4г {b/а'/} т^ф2 (х, gj).
5. Рассмотрите <7(х) = A sech2x и покажите, что (3.51) может быть решено
в гипергеометрических функциях и что коэффициенты отражения и прохождения
даются Г-функциями с аргументами, зависящими от g и А. Покажите, что в
частном случае А=п(п-\- 1), п - положительное целое, выполняется R (g) =
0 и возникает в чистом виде n-солитонное решение. Заметьте, что когда А ж
п(п + 1), то Я(0) = -1, в то время как при А = п(п -f 1) R(t,) = 0.
(Детали читатели могут найти в книге Лэма [69].)
Зе. Обратное преобразование. Основная наша цель в этом разделе-показать,
как восстанавливать потенциал q(x) по данным рассеяния S. Конечным
результатом будет знаменитое уравнение Гельфанда - Левитана [81], хотя
попутно мы получим уравнение, более удобное для нахождения безотражатель-
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
117
ных (чисто солитонных) потенциалов. Мы рассмотрим в деталях
двухсолитонный потенциал и объясним, что понимается под сдвигом фаз.
Первая и наиболее утомительная часть анализа - это восстановление
фундаментальной матрицы решений
Ф = ('ф(х, S) ¦(*,?)•*
vM*. О 'Ы*.
Если известна Ф и, в частности, ее элементы, то можно получить, что она
удовлетворяет уравнению Шрёдингера, и из этого извлечь потенциал q(x).
Наиболее удобный, но не единственный способ сделать последний шаг состоит
в том, чтобы выделить q(x), производя асимптотическое разложение для ф
(х) определенное в (3.29а). Получаем
q (х) = lim - Щ-?г (Ф (х, С) e~itx ~ О,
S-"" (3.73)
Im?>0.
Аналогичный анализ, основанный на (3.29), показывает, что функции ф(х,
?)е'Е-*, ф(х, -^)е~'^х, ф(х, -?)егЕ* все стремятся к единице в
полуплоскостях, в которых они аналитичны (Im?S?0).
Мы хотим найти ф(х, %)е%х (или ф(х, которая, как
мы уже знаем, аналитична в верхней полуплоскости с асимптотическим
поведением фе'5*-"-1 при ?-"-оо, 1т^>0. Мы также знаем, что ф(х, -?)е%х
аналитична при 1т?<;0 и на вещественной оси ?, ?; = ?, уравнение (3.59)
определяет скачок между (ф/а)е'&, имеющей лишь конечное число полюсов при
Im? > О, и ф(х, -?,)е'&. Этот скачок, ./?(?) ф(х, ?,)е%х, должен быть
непрерывной функцией. Это - классическая задача Римана--Гильберта,
решение которой строится следующим образом.
При 1т?>0 рассмотрим интеграл вдоль вещественной оси I:
f=iH <И4>
- оо
Вычислим / двумя способами. Во-первых, мы воспользуемся тем фактом, что
ф(х, %)е'^х и а(?) аналитичны при и де-
формируем контур интегрирования в окружность |g| = 7?, 7?->-оо, О < Arg g
< я. Получим
118 Глава 3
Первый член в (3.75) представляет собой вклад от нулей функции а(?),
которые просты и расположены в точках ?*, в которых Фа = й*Фа (Фа
обозначает ф(х, ?*)). Мы определяем ук как Ьь{а'ь)~\ гДе a'k - da/d?,kk-
Второй член происходит от интеграла по полуокружности на оо, относительно
которого мы знаем, что подынтегральное выражение стремится к |-1.
Теперь оценим I, используя (3.59):
сю оо
1 Г ф(дг, -De^dl 1 Г р/м 1|)(аг>Б)в,6*</С /о-тсч
1=ъй ) Гк j R{1)-T+l-• (,17Ь)
- оо -оо
Из свойств аналитичности подынтегрального выражения в первом интеграле
получаем
/ = -ф(*, ?) е-W + | ~ (r) *(^ ^ • (3-77)
Теперь мы получаем из (3.75) и (3.77) замкнутое интегральное уравнение на
ф(х, ?)
УаФа(r)^** If Ф (¦*• 5) е^х *(*, о= 1 - I + ай S R (r) s-к
Д. (3.78)
А = 1 * -оо
Отметим, что необходимые для решения (3.78) данные - это в точности
S=(R(Q, | вещественно, (?ъ yjf). Для завершения решения (3.78) и
доказательства существования и единственности решения иногда удобно взять
преобразование Фурье от (3.74) и ввести "временную" переменную, которую
мы в разд. 3d назвали т. Мы сделаем подстановку
00
ф (х, ?) е~1^х - 1 + ^ К(х, s)e^^s~x)ds-, lm?>0. (3.79)
X
Несложно показать, что такое К(х, s), не зависящее от ?, существует [12].
Асимптотическое разложение (3.79) дает
ф (х, ?) е~Кх = I - -ц- К (х, х) + 0 ( J5-) ,
и сравнение с (3.73) приводит к
q(x) = 2-^K(x,x). (3.80)
Подставим (3.79) в (3.78), умножим на е и проинтегрируем по ? от -оо до
+оо вдоль контура, расположенного чуть выше
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 119
вещественной оси. Тогда, пользуясь формулами
оо
^ = 2я6(s - т),
- оо
S = " 2nie~'h {Х~Х)И(т ~ х)'
-оо k
г° eli(x-x)
) ё+Ё" = ~2(tm)е~11{х~х)Н (т " х),
- оо
где Н (у)-функция Хевисайда, мы получим
оо
К(х, т) + В (х + т) + ^ К(х, s)B(s + x)ds - 0, х>х, (3.81)
X
где
N оо
В (z) = - i ? yke^z + -L \r (I) e** rfg. (3.82)
k = 1 -oo
Уравнение (3.81)-это уравнение Гельфанда - Левитана. Это фредгольмово
уравнение, из которого находится К(х, т) как функция от т > х по В(х +
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed