Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 44

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 113 >> Следующая

при 1т?>0, существует при Im5 = 0 и стремится к единице при 5->-°о, Im? ^
0. Поэтому а (5) может иметь лишь конечное число нулей, N, в области
1т?>0, поскольку в противоположном случае она имела бы точку сгущения
нулей и из соображений аналитичности должна была бы быть тождественным
нулем. (Если точкой сгущения служит 5 = 0. то требуются более тонкие
аргументы.) Из (3.59) мы видим, что а(5) пропорционально вронскиану
решений ф (л:, 5), ф(л:, 5)
а (5) =-^-^^-=27^(фФх -ФЛ),
а поэтому в каждом нуле 5&> k = \, ..., N функции а (5*) = О
ф(*> 5*) = М>(*. 5а), 6=1, .... N. (3.66)
Заметьте, что a (5) может иметь полюс при 5 = 0. И это действительно, как
правило, осуществляется. Исключения бывают при |/?(0) | < 1. Читатель
может подумать на эту тему после того, как сделает упражнения (ii),
(iii), (iv) и (v) в конце этого раздела.
Набор величин
(?*• VO?-,} (3-67)
называется данными рассеяния (a? = <3a/<35|Sft). По нему можно
восстановить a (5) следующим образом. Функция
114 Глава 3
аналитична при Im?>0, стремится к 1 при ? = оо, 1т?^0, и поэтому по
теореме Коши
¦-m-irS
- OQ
оо
- *_ [ 1гп?>0
и j i + s Ы5> ^ •
2я/
Заменяя -? в последнем уравнении, замечая, что при вещественных I ?)
= а(?)а(-?) = |а(?) |2, и складывая
оба уравнения, получаем
1 ,г\ V . s _ iT>* 1 Г 1п (1 -1R 1!) л
In a (0 ? ln 5 + /T, 2ni J E - 5
k =1 - oo
откуда уже тривиально следует, что
¦""ю-Z^-M^p^fl. <3-68"
А~1
(Легко видеть, что возможный простой полюс а(?) при ? = 0 не влияет на
результат.) Асимптотическое разложение обеих частей (3.68) при ?->оо дает
Я =_______________-______ ( К dx - 8/2П+2 V "2п+1 _
2n-1 (2i)2n+1 J *2n+1 2n+l 2-1
- 00 & =1
-л 5 In (1 -* I # I2) d\. (3.69)
о
Уравнения (3.69) - это формулы следов, определяющие функционалы
Гамильтона #2п_ь п=\, 2, ... (формула справедлива и при п = 0, однако #_]
не является разумным гамильтонианом)1) как функции от собственных
значений {т]й}й=1 и модуля коэффициента отражения |/?(?)|, ? вещественно
и положительно. Они поэтому выражают константы движения в старых
переменных (q, qx, qxx, ¦¦•) как функции констант движения в новых
переменных (данных рассеяния) и, в частности, показывают, как
отображаются гамильтонианы при переходе от q(x, t) к 5(/)-
!) Н-1 приводит к потоку qt = 0.
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
115
Имеет смысл выписать в явном виде несколько первых равенств;
оо N оо
\ дйх = 4^к +§$ln(l-m2:MS) (3.70а)
- сю 1 О
сю N оо
S q2dx = -?¦ ? Til - ? 5 S2 In (1 -1 R I2) dl, (3.70b)
- CO 1 0
oo N oo
\ (3.70c)
- oo 10
Стоит проверить эти формулы в случае, когда q(x) - односоли-тонный
безотражательный потенциал. Под безотражательностью мы понимаем
тождественное равенство R(t,) нулю. При этом нетривиальные данные
рассеяния - это просто связанные состояния {С* = гт1й> bk}i- В частности,
при N = 1 q(x) = - 2ц sech2 г] (х - х), где 'П1=,п, Ь1 = е21>г. Отметим,
что при N > 1 энергия У-солитонного состояния просто равна сумме энергий
входящих в решение солитонных компонент. Это неудивительно, поскольку
энергия сохраняется, и в пределе больших времен У-солитонное состояние
представляет собой линейную сумму У отдельных солитонов (см. (3.108)).
Полезно отметить также, что из (3.70а) следует, что масса, содержащаяся в
соли-
N
тонах, 4%, всегда больше действительно содержащейся в ре-1
оо
шении q(x) массы ^ qdx, поскольку 0<|/?|2<1. Поэтому
- оо
вклад непрерывного спектра в массу всегда отрицателен. Этот результат
имеет важные ответвления при рассмотрении возмущений уравнения КдФ.
Сейчас же самое время детально разобрать несколько примеров.
Упражнения 3d
1. Рассмотрите (a) vx = u(x, t)v и (b) щ = ("2 + ux)v. Убедитесь, что
условие интегрируемости - это уравнение Бюргерса (с) щ = 2иих-\- ихх.
Однако, дифференцируя (а), убеждаемся, что (Ь) превращается в "( = vxx,
т. е. в уравнение теплопроводности. Поэтому (с) может быть точно решено с
помощью отображения (а).
2. Рассмотрите q(х) = Q06 (х) и покажите, что a(t,) = = (Q0 + 2it) /2i%,
R (I) = -Q0/ (Qo + 2i?). Есть одно связанное состояние при Z, - iQ/2, и,
кроме того, R(0) = -1. В действи-
116 Глава 3
тельности для всех потенциалов, кроме безотражательных (для которых R(t,)
= 0), R(0) = -1. Проверьте выполнение (3.60). Вычислите ф(х, g), ф(х, g)
и найдите bk-
3. Возьмите q(x) = Q при 0 <. х <. L и <7 = 0 при остальных х. Покажите,
что
a (g) = e*L (cos V^2 + Q L - 1sin V?+QlY
¦n + y ' (3J1)
b (g) = e- -- sin л/t2 + QL.
2SV?2 + Q vb -rv
Почему a(g) аналитично при Img > 0? Отметьте, что R(t,)^>-1
при g ->• 0.
Чтобы найти нули a(g), положите g = i VQcos0 и получите а (g) = sin (20 -
f a sin 0)/sin 20, где a = '/QL. Исследуйте зависимость нулей a(g) от а
по поведению точек пересечения графиков у = a sin 0 и у = пл- 20, п - 1,
2, ... при 0 < 0 < л/2.
Замечание. Отметьте, что в этом случае a(g), ?>(g)/a(g) и все собственные
функции ф(х, g), ф(х, g) аналитичны везде, кроме g = 0, оо. Это свойство
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed