Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 43

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 113 >> Следующая

взаимодействия с потенциалом при х-v -фоо возникнут компоненты,
пропорциональные ег1& и е'+ В то время как вторая компонента ведет себя
как е~^х, т] > О и вполне допустима, первая, очевидно, нет, поскольку она
нарушает квадратичную интегрируемость. Следовательно, возможны только
некие специальные значения ?, при которых асимптотика и(х, ?) при х ->-
+оо содержит только член
Именно по этой причине изучаемые нами решения задачи (3.51) удобно
нормировать следующим образом. Для вещественных i, определим решения
<р(х, ?), Ф(х> ?) так, чтобы они имели асимптотики
Ф (л:, ?)~е";?л:, х->- оо, (3.58а)
ф(х, Q~el^x, х->+°о. (3.58Ь)
В качестве линейно независимых решений мы будем брать пары Ф, Ф и ф, ф.
Функция ф асимптотически ведет себя как е'Е* при х->--оо, а ф ~ е-%х при
х->- + оо. Для вещественных q(x) и t,
верны соотношения ф(х, ?) = ф(*> -S) = ф*(л:, ?) и ф(х, ?) = = ф(х, -?) =
ф*(л:, ?). Звездочка обозначает комплексное сопряжение. Эти два набора
линейно независимых решений связаны:
Ф (х, ?) = а (?) ф (х, -?) + Ъ (?) ф (*, g); (3.59)
из вышеприведенных условий симметрии легко увидеть, что а*(?) - а(-?) и
b*(Q=b(-?). Кроме того, уравнение второго порядка (3.51) не содержит
первой производной (в системе (3.2) это выражено нулевым следом матрицы
коэффициентов), и поэтому вронскианы функций (<р, ф) и (ф, ф) не зависят
от х. Поскольку W (ф, ф) = ФФ* - Ф*Ф = 2it, и W (ф, ф) = 2??, имеем (вы-
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 111
полните это вычисление!)
aa-bb'= 1. (3.60)
Теперь сравним (3.59) и (3.55), (3.56). Для того чтобы получить единицу
перед е~^х при х->+оо, поделим (3.59) на а(?). Теперь очевидно, что
г(0=^о' (3-61>
и что (3.60) - это просто (3.57).
Замечание. "Линейный" предел. Сейчас самое время посмотреть, как связан
коэффициент отражения R{t,) с простым преобразованием Фурье от q(x)
оо
= \ q(x)e~ikxdx.
- оо
Для этого используем формулировку (3.2) и запишем два интегральных
уравнения для ф1 =-Ф*-Ы?Ф и ф2 = ф, где ф(х, ?)- решение уравнения (3.1)
с асимптотическим поведением (3.58Ь),
X
i|)ie'?*= U q(y)^.2e^vdy,
- оо
X
ip2e~^x =1 - ^
- оо
Теперь будем решать эти уравнения итерациями, находя последовательно
члены со все более высокими степенями q. По существу именно эти
разложения используются для доказательства утверждений (3.64),
приведенных ниже. Сейчас, однако, мы будем считать q малым и сохраним
только линейные по q члены.
X
Мы получим, что приблизительно равно ^ q(y)e2i^dy.
- оо
Однако из соотношения, обратного к (3.59),
ф (х, 1) = а (?) Ф (х, -?) - b (-?) Ф (х, ?), (3.62)
мы видим, что ф1е'Ед: = (-ф* + г?ф) е%х стремится к -2г?6(-?) при -оо.
Таким образом,
оо
-2it,b(- ?)= jj q (у) e2t'°ydy,
112 Глава 3
и поэтому
"*>--?-*(?)•
Кроме того, в этом предельном случае а = 1, и поэтому данные рассеяния -
это преобразование Фурье.
Я хочу подчеркнуть, что это вычисление - лишь пример, показывающий без
излишних сложностей, что обратное преобразование рассеяния является
нелинейным аналогом преобразования Фурье. В действительности то, что
понимается под пределом малых q, требует большой аккуратности. Есть много
потенциалов, которые, будучи малыми при всех х, тем не менее имеют
связанные состояния. Например, в упражнении 3d(3) амплитуда Q может быть
сколь угодно мала, и тем не менее всегда есть одно связанное состояние. В
этом смысле предел а-> 1 при всех ?, Im? > 0, не является равномерным.
Данные рассеяния и их свойства. До сих пор мы имели дело с решениями при
вещественных ?. Оказывается, что если q(x) удовлетворяет условию
оо
^ (1 + х2)\ q (х) \йх < оо, (3.63)
то справедливы следующие результаты.
(i) ф (х, ?) е^х, ф (х, ?) е~^х и а (?) (определенное как
(1/2) i?flP (ф, ф)) аналитичны по ? при Im?>0. (3.64а)
(п) ф(х, ?)ег?д:, ф(х, Qe~l^x и их производные по ? существуют и
непрерывны в области 1т?^0 везде, включая ? = 0. (3.64Ь)
За деталями читатель может обратиться к работе Дейфта и Трубовица [80].
Математические проблемы, возникающие в обратной задаче рассеяния,
сводятся к тому, чтобы охарактеризовать данные рассеяния, возникающие из
потенциалов заданного класса. Первоначально Фаддеев исследовал класс
q(x), для
оо
которых ^ (I + I х |) q (х) dx < оо, но Дейфт и Трубовиц ука-
-оо
зали, что для контроля над производной по ? от ф(х, ?)е-'?* при ? = 0
необходимо несколько более сильное условие (3.63).
Далее, рассмотрим (3.29) с и=ф. Вспоминая, что фп = = -Ф* + *?Ф> и
пользуясь (3.62), получаем, что величина
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
113
(ф-f-(l/2i'5) (Ф*- "5ф))е_<с* стремится к а(5) при х->-оо. Поэтому (3.29)
дает
оо
Ina(g) S Rndx. (3.65)
1 -00
Записывая (3.65), мы, естественно, предполагаем, что все интегралы в
правой части существуют, а это гораздо более сильное условие, чем (3.63).
Если бы мы располагали только (3.63), то мы могли бы только утверждать,
что а (?)->-1 при 1т5 ^
^ 0. Пока, однако, это все, что нам нужно. Мы знаем, что а (5) аналитична
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed