Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
[5]. См. также библиографический комментарий к гл. 5.
108
Глава 3
8. Рассмотрите задачу на собственные значения
и покажите, как выбрать Vt так, чтобы получить нелинейное уравнение
Шрёдингера с производной (НУШП) и массивную модель Тирринга.
Замечание, Мы увидим, что получающийся из этой спектральной задачи набор
уравнений является родственным по отношению к иерархии АКНС. (См. [38].)
3d. Прямое преобразование для нелинейного уравнения Шрёдингера, или
рассеяние на бесконечной прямой [12, 80]. По причинам, указанным в гл. 1,
кажется естественным связать уравнение Шрёдингера
vxx + (Z2 + q(x, t))v = 0 (3.51)
с решениями уравнения КдФ. В разд. ЗЬ мы обнаружили, что если q(x, t)
эволюционирует по параметру t согласно уравнению
qt + bqq* + я ххх = °> (3.52)
то В = -4?2 + 2<7, А = (7* + С, С - свободная константа и
+ = (Ях + Q v + (4?2 - 2?) vx• (3.53)
(См. (3.15) и соответствующее ему В -ВО). Заметьте, что мы положили tz -
41.) "Ну и что?" - можете вы спросить. "Чем это может нам помочь?"
Преобразование от q(x, t) к v(x, t; ?) не приводит к какому-то простому,
легко решаемому уравнению для v(x, t; ?). Например, оно не линеаризует
КдФ, как это происходит для уравнения Бюргерса (см. упражнение Id). К
счастью, группа, сделавшая открытие (Гарднер, Грин, Крускал, Миура), была
хорошо знакома с квантовой физикой, и когда возникло уравнение
Шрёдингера, им показалось естественным вычислить для него данные
рассеяния. Более того, как я уже упоминал в гл. 1, оказалось, что это
преобразование от потенциала q(x, t) к данным рассеяния (или их
подмножеству) и есть правильное преобразование, позволяющее перевести
систему с бесконечным числом связанных степеней свободы (3.52) в
разрешимую систему с разделенными степенями свободы.
Основные идеи теории рассеяния. Слово "рассеяние" подразумевает наличие
времени, состояния "до" и "после" и наводит на мысль о некотором
распространяющемся импульсе или волне,
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
109
который частично (в одномерном случае) отражается, а частично проходит
сквозь некую неоднородность, представленную потенциалом q(x, t). Первое,
что нужно сказать,-это что время, на которое указывает понятие
"рассеяние", и параметр t (время) в уравнении КдФ не имеют между собой
ничего общего. Первое из этих времен мы назовем т, а второе временно
зафиксируем. Рассмотрим, например, модель Скотта, состоящую из непрерывно
распределенных маятников, подвешенных на торсионной проволоке, и
представим себе, что при или
исчезает сила тяжести, или становится бесконечной длина маятников. Тогда
(2.28) можно записать как
ихх ~ СЧ* + Ки = °' (3-54)
где коэффициенты с2 и со2 _ функции х, такие что с2^с^, >0
при х->-±оо. Для простоты примем с2 = 1 при всех х. Уравнение (3.54)
будет описывать распространение волн по струне, погруженной в части своей
длины в упругую среду. Во всяком случае, поскольку со2 не зависит от т,
можно искать решения
оо
уравнения (3.54) в виде и(х, х)= ^ v (х, ?)е~^хй?, где v(x, ?)
- оо
удовлетворяет (3.51) с - со2 (х) = q (х, t). Вообразим, что t в q(x, t)
представляет собой параметр, с помощью которого можно непрерывно изменять
q(x, t). Но я опять подчеркиваю, что когда речь идет о теории рассеяния,
t считается константой.
Поскольку q(x) обращается в нуль при асимптоти-
ческое поведение и(х, ?) задается линейной комбинацией экспонент е±г'?* с
коэффициентами, зависящими от ?. Решения е±г^ представляют собой в и(х,
т) члены, зависящие от х + т и поэтому двигающиеся влево (вправо).
Следовательно, если из х = +оо по направлению к потенциалу впускается
импульс в виде б-функции Дирака, то часть его отразится от потенциала, и
поэтому v(x, t,) будет иметь асимптотику на х->-+оо вида
v00{x,i) = e-** + R{Qei^, (3.55)
где R{t) называется коэффициентом отражения. Часть же импульса пройдет, и
поэтому асимптотика v(x, ?) при х =-оо имеет вид
v-ooix, l) = T{Qe-*x (3.56)
и Т (^) называется коэффициентом прохождения. Из теории обыкновенных
дифференциальных уравнений и из простых интуитивных соображений следует
(мы вкратце скажем, почему), что
ltfl2 + m2=l. (3.57)
110 Глава 3
В этом примере (уравнение sin-Гордон) мы выбрали q (х)- - со2, т. е.
величину, отрицательную всюду. Однако в квантовой физике потенциал -q(x),
в котором движется электрон, может местами быть и отрицательным, и у
(3.51) возможны решения не волнового типа. Это так называемые связанные
состояния, и они возникают при отрицательных значениях энергии % - Е~ =
Е;2 с чисто мнимыми ?. В отличие от волноподобных решений, осуществимых
при всех вещественных ? (положительных Е), существует лишь дискретное и
конечное число собственных значений ?й(=1Т]*)) которым соответствуют
интегрируемые в квадрате собственные функции на интервале (-оо, оо). В
этом можно убедиться таким образом. Представим себе решение, ведущее себя
при х-s-оо как v~ao(x, ?) - е~'& и экспоненциально убывающее в этой
области при ? = it), т] > 0. В общем случае можно ожидать, что после
