Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
последнем разделе этой главы рассматриваются пути построения специальных
классов решений, которые зачастую наиболее интересны в приложениях; здесь
вы встретите многосолитонные решения, рациональные решения и, наконец,
многофазные периодические решения. В последней части гл. 3 начинают
проявляться некоторые особенности нового подхода к солитонным уравнениям,
который будет представлен в гл. 5. Постоянно подчеркивается, что
отыскивается решение не просто одного какого-то уравнения, а целого
семейства уравнений.
В гл. 4 появляется новый герой. Им является т-функция. В первых разделах
этой главы я показываю, как она вводится в виде потенциальной функции и в
качестве естественного следствия формы законов сохранения и симметрий. На
этой стадии читателю должно быть абсолютно ясно, что он имеет дело с
бесконечным набором коммутирующих потоков и что т должна рассматриваться
как функция времен {tk} всех потоков, выбранных в качестве независимых
переменных. В центральных разделах для построения многосолитонных решений
используется формализм Хироты и уделяется особое внимание алгебраической
структуре билинейных уравнений Хироты, которые допускают jV-солитонные
решения для произвольного N. В частности, мы покажем, каким образом
существование N-солитон-ного решения (для произвольного N) специального
уравнения Хироты является эквивалентным существованию бесконечного
10 Введение
семейства уравнений Хироты возрастающей степени, к которому принадлежит
специальное уравнение и которое характеризуется общей для всех уравнений
семейства функцией фазового сдвига. Особо подчеркивается роль функции
фазового сдвига при построении бесконечного семейства. Некоторые из этих
идей абсолютно новы. После обсуждения формализма Хироты в следующем
разделе я знакомлю читателя со свойством Пенлеве, которым, по-видимому,
обладают все интегрируемые системы1). Подчеркивается связь этого важного
свойства, из которого вытекает легко реализуемый тест на точную
интегрируемость систем, с, условием Хироты (условие, которому должен
удовлетворять заданный многочлен Хироты для того, чтобы соответствующее
билинейное уравнение допускало jV-солитонное решение). В заключительном
разделе этой главы вводятся преобразования Бэклунда, при помощи которых
из простых могут быть построены значительно более сложные решения.
Оквзывается особо полезным представить преобразование Бэклунда в форме
Тстар = е^Тнов- Оператор У является очень важным. Он называется вершинным
оператором.
На протяжении первых четырех глав происходило постепенное изменение
концепции. Поначалу солитонное уравнение понимали как нелинейное
эволюционное уравнение, как рецепт, по которому изменяется заданная
функция пространственно-подобной переменной х относительно времени-
подобной переменной t. Несомненно, что принимается именно эта точка
зрения, когда применяется метод обратной задачи рассеяния, в котором для
эволюционного уравнения рассматривается задача Коши (задача с начальными
условиями). Однако по мере прояснения чудес солитонных уравнений
становится все яснее, что данное уравнение правильнее всего считать
локальным соотношением между функцией (или функциями) бесконечного числа
независимых переменных и ее различными производными по отношению к
независимым переменным - соотношением, являющимся весьма специфическим
из-за заложенной в нем алгебраической структуры. Благодаря локальности
уравнения нет необходимости рассматривать какую-либо переменную как
пространственно-подобную и поэтому специальным образом выделенную.
Новая концепция подхода к солитонным уравнениям, основанная на этих
идеях, приведена в гл. 5. Это самая большая глава, посвященная материалу,
который должен быть новым для всех, кроме нескольких специалистов в этой
области. Я ста-
') Обсуждению этой гипотезы посвящено множество работ. В ряде частных
случаев ее удалось обосновать. Однако в последнее время становится ясно,
что свойство Пенлеве не является ни необходимым, ни достаточным для
интегрируемости. Контрпримеры можно найти в работе [1*]. - Прим.ред,
Введение 11
рался избежать изложения новых идей на чрезмерно математическом языке,
так что я рассчитываю, что у читателя хватит выносливости, чтобы ее
осилить. Я начну с пояснения роли, которую играет метод Уолквиста -
Эстабрука при выявлении алгебраической структуры, присущей заданному
уравнению. В случаях КдФ и НУШ оказывается, что фазовое пространство, в
котором "живут" солитонные потоки, является бесконечномерной
градуированной алгеброй Ли G = sl(2, С), алгеброй петель -N -N
Для si (2, С). Выражение ^Х^1 является про-
оо оо
сто степенным рядом, в котором все коэффициенты принадлежат si(2, С) и
могут быть представлены в матричном виде матрицами 2X2 с нулевым следом.
Физик легко увидит, что спиновые матрицы Паули можно использовать в
качестве базиса в этом векторном пространстве.
Алгебру G можно разложить на две подалгебры, и на ортогональном
дополнении к одной из них, которая может быть отождествлена с
