Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и процессы в квантовых системах с большими флуктуациями, о которых пока
известно довольно мало, но есть также и несколько других типов
нелинейного поведения, широко встречающихся в природе, которые теперь
могут быть классифицированы, предсказаны и поняты. Ныне слово
нелинейность, которое буквально означает "отсутствие линейности", больше
не является синонимом области, лежащей за пределами доступного пониманию.
Эта книга о солитонах и о том, как они выглядят в математике и физике.
Она является итогом лекций, прочитанных мною в июне 1982 г. в рамках
цикла, поддержанного Национальным научным фондом через Консультативный
совет по математическим наукам. При ее написании я старался
ориентироваться на серьезного студента, не специалиста в данной области,
принимая во внимание как стиль изложения, так и цену. Книга не является
энциклопедией информации по солитонам, в которой каждое предложение
прерывается либо ссылкой, либо спором по поводу приоритета. Я скорее
сделал попытку изложить историю солитона так, как я хотел бы услышать ее
в качестве аспиранта, с некоторыми историческими отступлениями, подробной
мотивировкой, часто пытаясь установить
8 Введение
связь обсуждаемой темы с целостной картиной и ясным указанием направления
или направлений, в которых происходит развитие изучаемого предмета.
Важные идеи зачастую повторяются несколько раз, иногда в несколько
отличающихся контекстах. Вследствие такой манеры изложения книга местами
явно не оценивает должным образом вклада многих коллег, так много
сделавших для развития этой удивительной темы. Я приношу извинения за эти
опущения.
С другой стороны, книга не является простой и, исключая начальную главу,
в которой повествуется об открытии солитона, не предназначена для чтения
в кресле. Она требует остро заточенного карандаша и еще более острой
сообразительности. В ней пять глав, цель первой я уже изложил. Вторая
глава знакомит читателя с истоками и физикой уравнения Кортевега - де
Фриза (КдФ) и нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ), причем особый упор
делается на их универсальность и широкую распространенность. Об этом я
больше скажу во второй половине введения. В этой главе также обсуждается
вывод этих уравнений как условий асимптотической разрешимости. В попытке
подчеркнуть, что именно носит универсальный характер, в данной главе мы
уделяем особое внимание неустойчивости Бенджамина - Фейера, или
модуляционной неустойчивости огибающей, которая играет важную роль во
многих физических приложениях. Она представляет собой проявление того,
что монохроматическая волна зачастую неустойчива и порождает локальное
поведение, подобное импульсу или солитону. В одномерном случае импульс
эволюционирует до тех пор, пока не сформируется солитон огибающей. В
многомерном случае эффект более впечатляющ, так что решение может стать
сингулярным за конечное время; это наблюдается в нелинейной оптике
(самофокусировка) и в физике плазмы (коллапс ленгмю-ровских волн).
Последний раздел посвящен детальному обсуждению связи теории Уизема и
нелинейного уравнения Шрёдингера. По виду может показаться, что последнее
представляет собой простой предел малых амплитуд предыдущего. Это не так,
используются намного более тонкие предельные переходы. Оказывается, что
этот случай является прямым аналогом проблемы, касающейся поведения
непрерывной системы вдали и в окрестности фазового перехода. Вдали от
точки перехода амплитуда параметра порядка жестко привязана к градиенту
фазы (как это имеет место в решениях теории Уизема), в то время как
вблизи от нее амплитуда обладает независимой динамикой развития.
В третьей главе стандартным образом вводится солитонная математика.
Сначала мы покажем, как выводится семейство
Введение
9
интегрируемых уравнений, связанное с заданной (спектральной) задачей, и
как наделять уравнения гамильтоновой структурой. Хотя эта глава в
основном посвящена двум простейшим семействам, КдФ и НУШ, материалы
упражнений в конце разделов ЗЬ и Зс включают более трудные темы. Читатель
должен научиться уверенно обращаться с этими упражнениями; в частности,
упражнение ЗЬ (5) знакомит со схемой метода обратной задачи для
эволюционных уравнений с пространственной размерностью больше единицы.
Основываясь на этих разделах, я приведу метод обратной задачи и покажу,
как решать начально-краевую задачу для уравнения Кортевега - де Фриза на
бесконечной оси. Я также привожу пространное обсуждение того, как
использовать идеи теории обратной задачи для изучения ситуаций, которые
могут быть описаны возмущенным уравнением Кортевега - де Фриза. В
частности, весьма подробно обсуждается задача о распространении
уединенной волны в канале с медленно меняющейся глубиной и развивается
общий метод расчета поля возмущенного потока, включая волну отражения.
Как вы увидите, эта проблема нетривиальна, так как возмущение не только
изменяет уединенную волну, но также порождает новые компоненты потока. В
