Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
гамильтонианом
Н = PiP2 + у р\ - 2<7i<72 + у Я1Я2 и вторым интегралом движения
G = - у (р2 + у Р1Я2У + у Я А ~ 2Я% + У Я{Я\
в инволюции. Н порождает поток х, G - поток /3. Зная уравнение и
сообщенную выше информацию, можете ли вы, используя метод Уолквиста -
Эстабрука, показать, что уравнение Лакса есть Qx = [Q(1), Q], т. е.
условие совместности для yV = QV, Vx = QWV, где
QM=-%H + qE-F,
Q = (i?B -1 Bx) H + (- ± Bxx + ilBx -ЯВ)Е + BF,
B = -?4 + f S2-y(?"+3<72)?
Другой пример (в котором я еще не знаю ответа) порождается
н=±р2 + ±р1 + я21 + 2я1
со вторым интегралом движения
G = q\ + 4<72<72 - 4?i?2 + 4PiP2<7i-
Трудность в том, что у нас нет хорошего рецепта для вычисления
зависимости Q, Q(1) от координат, в которых задана исходная задача.
310 Глава 5
Однако я не хочу, чтобы мое замечание звучало слишком пессимистично,
потому что иногда эта схема действительно работает (особенно если
использовать данный метод вместе с информацией, полученной из теста
Пенлеве), и тогда она имеет то крупное преимущество, что указывает
координаты, в которых интегралы движения разделяются. Например, в первом
приведенном выше примере возьмем
и найдем
н = - + 2 К, - |*У (в, - I*,),
что разделяется следующим образом:
- 1*1,=
= - ^2 ~ Т ^2 ~ Т (1*2 - ^l)2 < = Т*
а это совпадает с (3.168) и, как мы показали, интегрируется с помощью
отображения Абеля.
Поэтому уместно задаться вопросом: имеет ли гамильтонова система,
интегрируемая по Лиувиллю (N интегралов движения в инволюции),
эквивалентную формулировку с помощью лаксо-вой пары, и если имеет, то как
ее построить?
ЛИТЕРАТУРА
[1] J. Scott Russel (1844). Report on waves. Rept. Fourteenth Meeting of
of the British Association for the Advancement of Science. John Murray,
London, pp. 311-390.
[2] -(1865). The Modern System of Naval Architecture, 1. Day and Son,
London, p. 208.
[3] J. Boussinesq (1872). Theorie des ondes et des remous qui se propa-
gent... - J. Math. Pures Appl., 17 (2), pp. 55-108.
[4] D. J. Korteweg and G. de Vries (1895). On the change of form
of long
waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long
stationary waves. - Phil, mag., 39, pp. 422-443.
[5] A. Fermi, J. Pasta, S. Ulam (1940, 1955). Studies of Nonlinear
Problems. I. Los Alamos Report, LA 1940, 1955; in: Nonlinear Wave
Motion.
A. C. Newell ed. Lectures in Applied Math., 15, American math. Soc.,
Providence, RL, 1974, pp. 143-196.
[6] N. J. Zabusky, M. D. Kruskal (1965). Interaction of "solitons" in a
collisionless plasma and the recurrence of initial states. - Phys. Rev.
Lett., 15, pp. 240-243.
[7] M. D. Kruskal (1965). Asymptotology in numerical computations:
Progress and plans on the Fermi - Pasta - Ulam problem. - Proc. IBM
Scientific Computing Symposium on Large-Scale Problems in Physics, IBM
Data Processing Division, White Plains, N. Y., pp. 43-62.
[8] -(1974). The Korteweg - de Vries Equation and Related evolution
equations. In: Nonlinear Wave Motion. A. C. Newell, ed. Lectures in Appl.
Math., 15, Amer. Math. Soc., Providence, Rl, pp. 61-83.
[9] M. D. Kruskal, N. J. Zabusky (1963). Progress on the Fermi - Pasta -
Ulam non-linear string problem, Princeton Plasma physics Lab. Annual
Rept. MATT-Q-21, Princeton, NJ, pp. 301-308.
[10] N. J. Zabusky (1981). Computational synergetics and mathematical
innovations. - J. Comp. Phys., 43, pp. 195-249.
[11] R. M. Miura (1968). Korteweg-¦ de Vries equation and
generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation. - J.
Math. Phys., 9, pp. 1202-1204.
[12] C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, К. M. Miura (1967).
Method for solving the Korteweg - de Vries equation. - Phys. Rev. Lett.,
19, pp. 1095-1097.
- (1974). The Korteweg - de Vries equation and generalizations. VI.
Methods for exact solution. - Comm. Pure Appl. Math., 27, pp. 97-133.
[13] C. S. Gardner (1971). The Korteweg - de Vries equation and
generalizations. IV. The Korteweg - de Vries equation as a Hamiltonian
system.- J. Math. Phys, 12, pp. 1548-1551,
B. E. Захаров, JI. Д. Фаддеев (1971). Уравнение Кортевега - де Фриза-
вполне интегрируемая гамильтонова система. - Функц. анал. и его прилож.
5, № 4, с. 18-27.
312 Литература
[14] P. D. Lax (1968). Integrals of nonlinear equations of evolution and
solitary waves. - Comm. Pure Appl. Math., 21, pp. 467-490.
[Имеется перевод: П. Д. Лаке. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений
и уединенные волны. - Математика, 13:5, с. 128-150.- М.: Мир, 1969.]
[15] S. L. McCall, Е. L. Hahn (1967). Self-induced transparency by pulsed
coherent light.- Phys. Rev. Lett., 18, pp. 908-911.
- (1969). Self-induced transparency. - Phys. Rev., 183, pp. 457-485.
[16] L. P. Eisenhart (1909). A Treatise of the Differential
Geometry of
Curves and Surfaces. Ginn & Co, reprinted by Dover, New York, 1960.
[17] A. Seeger, H. Donth, A. Kochendorfer (1953). Theorie der
Versetzungen
in eindimensionalem Atomreihen. - Z. Phys., 134, pp. 173-193.
