Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
между соответствующими переменными. Можно предположить, что помимо
явлений, возникающих под действием этих связей, коллективное поведение
нового рода может устанавливаться с помощью "процедуры взвешивания",
описываемой стохастическим оператором следующим образом: отдельные
динамические переменные берутся с весами, задаваемыми стохастической
матрице флуктуаций окружающей среды Wij(t). Эта операция через обратную
связь оказывает влияние на эволюцию переменных х, и накладывает на
динамику на уровне X ограничения, явно отражающие свойства окружающей
среды. Существование многочисленных путей обратной связи между
неокортикальным и лимбическим уровнями подкрепляет изложенную точку
зрения [4.28], делая ее более правдоподобной.
Теперь мы можем записать систему связанных нелинейных
интегродифференциальных уравнений для макроскопических динамических
переменных которые в отсутствие пространственной дифференциации (V2x, =
0) имеют вид
dx К 1
-jf = ft (*/' 0 + wi(0 + ? \ xi ^ Wi> V' + т) dt'' (4-8-2)
/=1 о
где Wi(t) означает флуктуации, индуцированные окружающей средой, а третий
член в правой части описывает влияние оператора кросс-корреляции на
иерархический уровень X. Для простоты предполагается, что взвешивание,
производимое этим оператором, приводит к установлению линейной
зависимости между х,-, хотя в самом общем случае это отнюдь не
обязательно. Ясно, что для зашумленной окружающей среды, моделируемой как
случайный процесс с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением,
равным о, этот член равен нулю, когда концентрация xi постоянна
(стационарные состояния на уровне X) или колеблется со случайной фазой
либо когда (при достаточно большом k) k осцилляторов некоррелированы (или
совершают колебания с иррациональными частотами сщ).
На языке динамики "оператор кросс-корреляции" можно представить себе как
проявление действия некоторого "основного жесткого нелинейного
осциллятора" (ОЖНО), потенциально существующего на уровне X с двумя
устойчивыми состояниями: стационарным состоянием "покоя" (когда
осциллятор не функционирует) и одним предельным циклом (когда осциллятор
"включен"). Такой ОЖНО под действием (со стороны окружающей среды) белого
шума w(t) с нулевым средним
Элементы теории информации и кодирования
259
и плотностью спектральной мощности о [Вт/Гц] можно представить, например,
в виде "жесткого" релаксационного генератора Ван дер Поля
х - 2е (1 - 4ах2 + 8|3л:4) х + а2х = w (t). (4.8.3)
В работе [4.11] (там же приведены остальные ссылки; см. также
приложение А) было показано, что отношение (среднего)
времени, в течение которого такой генератор пребывает в невозбужденном
состоянии, к среднему времени, в течение которого он пребывает в
возбужденном состоянии, равно величине
"_..(о*^4§^у-еС/", (484)
2 Упе
где
с = 7Ж + ^а2 ~ 1 ~ 46 4Р i(a + Va2 - 4р)] ¦
(4.8.5)
Если а, р - величины одного порядка (сильная "жесткая" нелинейность) , то
либо с > 0, либо с <С 0.
Как показывает полученный результат, при заданных параметрах а, р и е
справедлива оценка р ~ л/а ехр (+ с/а). При р ~ д/а ехр {с/а)величина р
сначала убывает при увеличении о, проходит через минимум, а затем
возрастает. При р ~ ~V°rexP(-I с |/а) величина р монотонно возрастает
вместе с а. В первом случае мы всегда можем определить "благоприятный"
набор параметров а, р, е так, что с ~> 0, и при данном (умеренном) уровне
флуктуаций а в окружающей среде справедливо неравенство р <С 1. Это
означает, что генератор практически достоверно (т. е. с вероятностью
единица) возбуждается всякий раз, когда среднеквадратичное отклонение
флуктуаций окружающей среды превышает о. Такой (вероятностно)
возбуждаемый ОЖНО затем выходит на предельный цикл с основной частотой ю0
и значительной амплитудой.
При каких условиях описанный выше жесткий генератор может влиять на
поведение системы? Предположим, что первоначально некоторые переменные в
уравнении (4.8.2) возбуждены и совершают почти синхронные колебания.
Тогда возможно, что ОЖНО вызовет дальнейший захват частоты среди каких-то
k колеблющихся компонент на уровне X, в силу чего
xt ~ At (/) cos [ю0/ + фг (/)]. (4.8.6)
Отдельные члены группы генераторов с захваченными частотами могут затем
входить в соотношение захвата частоты с спектральными компонентами
случайного фазового вектора юг (О
260
Глава 4
окружающей среды и образовать набор упорядоченных соотношений
Ф" + 1- Фг<а0т. (4.8.7)
При постулированной выше динамике мы окончательно по-лучаем набор
ненулевых членов
t
^ Xj (О Wij (t' -(- т) di' (4.8.8)
о
(из-за когерентности фаз) и ненулевую сумму
k t
J] ^ Xj (О wt, (t' + dr) dt' (4.8.9)
/=i о
(из-за захвата частоты).
Иначе говоря, "активация" корреляционного оператора, входящего в
(4.8.2), имеет много общего с "включением" оператора диффузии
в случае, когда начальное условие соответствует
неоднородному распределению материи. Следовательно, по
крайней мере в принципе мы легко можем составить наглядное
