Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Ч7 (/) = ^ с?(ср, /) с/ф (4.5.98)
-ф,
дает вероятность того, что в момент времени t рассогласование по фазе
ф еще не достигло предела фь Заметим, что в силу
условия с?(ф, t) = 0 при | ф | ф 1 пределы в интеграле (4.5.98)
можно было бы выбрать и бесконечными, поэтому
+ оо
^ q (ф, t) dtp - Ч7 (/) ^ 1. (4.5.99)
- оо
В этом основное различие между q(<f,t) и р(ф,/), так как
S+OO
р(ф, 0^Ф==1 при всех t- Следовательно, величину q(q>,t),
- оо
строго говоря, нельзя считать ф. п. в.
214
Глава 4
Функция -вероятность того, что в момент времени t величина |ф| меньше q>i
и в интервале времени от 0 до t синхронизация ни разу не нарушалась,
поэтому должна быть
монотонно невозрастающей функцией от t. Иначе говоря, ф. п. в. для
времени, которое требуется |<р|, чтобы впервые достичь уровня фь
определяется величиной
|jm + (4.5.100)
Af-vOL -* 01
а время ожидания первого выхода на границу ф! равно
ОО 00
Т = \ -t^fLdt = -[tW(t)]\;-\w(t)dt. (4.5.101)
Если невозрастающая функция ЧЧО стремится к нулю быстрее, чем l/t, то
первый член в правой части соотношения (4.5.101)
обращается в нуль. ^Именно так и должно быть, если инте-
SOO
Ч1 (t) dt существует.
о
Итак,
оо ф,
Т = ^ ^ q((p, t)d(fdt, (4.5.102)
О -ф,
и, интегрируя уравнение Фоккера - Планка (4.5.97) для q((p,t), мы
получаем
q (ф, оо) q (ф, 0) = ^- [(Л/С sin ф) Q (ф)] + -^р- - ^ф(2ф)-,
(4.5.103)
где
оо
Q (ф) = 5 я (ф. О dt.
о
Ясно, что #(ф, оо) = 0, а так как рассогласование фаз ф по предположению
в начальный момент времени равно нулю, мы заключаем, что q((p, 0) = 6(ф).
Таким образом, мы приходим ж уравнению
-6 (ч>) = КАК sin Q ^ ^ <4-5-104>
Элементы теории информации и кодирования
21S
с граничными условиями
с"
Q(<Pi)= $ <7(qpi> t)dt = 0,
О
оо
Q (- <Pi) = ^ q ф1' ^ dt ^ °-
0
Интегрируя уравнение (4.5.104) по ср на интервале (-ф,, ф]),. мы получаем
Т - математическое ожидание времени первого-выхода на границу. Взяв
неопределенный интеграл от обеих частей уравнения (4.5.104), мы придем к
уравнению
С - и (Ф) = (АК sin Ф) Q (Ф) + Mi , (4.5.105>
где и(ф)-ступенчатая функция единичной амплитуды, С - постоянная,
значение которой определяется из граничных условий.
Решение этого дифференциального уравнения первого порядка имеет вид
ф1
Q (ф) = D exp (a cos ф) + ехр (а cos ф) ^ cos х^ [С - и (х)] dx,
"Ч" (4.5.106)
где
А2 А2
а - N AKI4 ~ N0B '
NqK2 _ АК _ 4BL
'4 а а
Граничные условия Q(ф1) = Q(-ф0 = 0 дают значения постоянных D = 0 и С =
1/2. Таким образом,
Q (ф) = 6ХР <avC0S Ф) S ехР a cos *) Jy _ м (*)] (4.5.107)
-ф1
и, интегрируя по ф в интервале (-фьфО, мы получаем выражение для среднего
времени первого выхода на границу:
Ф1
т= jj Q (ф) dy =
-ф.
Ф1 ф1
= - ^ dtp ^ exp [a (cos ф *- cos х)] [у - и (х)] dx =
-ф, -ср,
ф1 ф!
= ^ схр [a (cos ф - cos х)] dx. (4.5.108)
О -ф,
216 Глава 4
Разложение
оо
ехр (± a cos ф) = /0 (а) + 2 2 (± 1 )т1т (а)cos тФ
т - 1
позволяет записать выражение (4.5.108) в виде
1 С /2 (а) 2 °° 4,1
Т = у j_|_ 2/0 (а) ? /" (о) ^ [cosmp+(- l)ncosnx]dx+
v л = 1 0 -ф!
ОО ОО (pi ф1 Ч
Н- 4 ZZ (-1)"/ш (а)/" (а) ^ cos тф ^ cos пх dx i .
(4.5.109)
m =1 п= 1 0 -ф[ '
Разумеется, наиболее важным результатом является математическое ожидание
времени между мертвыми циклами, т. е. Т(2я). Поэтому при ф1 = 2я из
общего выражения (4.5.109) мы получаем
2я2 п я2а/п(а)
Т(2я) = - /?(<*) = -щ-, (4.5.110)
где Bl = AK/4; таким образом,
2 В АК
Частота мертвых циклов = -=-,-------------= -5-я---------. (4.5.111)
Р я а/2 (а) 2я а/g (а)
При а 1 (большом отношении сигнал/шум), так как
/о (а)
(2яа)1/2 '
мы получаем "частоту перемежаемости", или
АКе~2а
Частота мертвых циклов-----------------. (4.5.112)
4.6. Моделирование стохастических временных рядов
Рассмотрим теперь следующую задачу. Мы наблюдаем (дискретный) временной
ряд из нулей и единиц, описывающий поведение некоторой динамической
системы. Этот ряд (обладающий определенной сложностью) требуется
научиться сжимать или моделировать. Каким наименьшим числом внутренних
состояний должен обладать (конечный) детерминистический автомат для того,
чтобы он мог моделировать наблюдаемый временной ряд? Как возрастает
среднее число состояний в оптимальной модели (т. е. ожидаемая сложность)
с увеличением числа наблюдений, т. е. с все возрастающей длиной принятого
временного ряда? Происхождение временного ряда наблюда-
Элементы теории информации и кодирования
217
телю не известно: временной ряд может быть порожден бросанием монеты (или
игральной кости) или некоторым причинным процессом.
Нас интересует здесь тот случай, когда составитель модели по тем или иным
психологическим мотивам отдает предпочтение априорному предположению о
том, что наблюдаемое поведение порождено некоторой причинной системой, и
поэтому строит детерминистическую модель такого поведения. Разумеется,
для любой конечной длины N найдется неограниченно много автоматов с
конечным числом состояний, выдающих на выходе наблюдаемый временной ряд
