Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
функции плотности марковского процесса. Опустим пока относительные
времена. Плотность совместной вероятности трех выборочных значений
процесса обозначим через р(ф, ф', ф0). Тогда
Р(Ф. ф', Фо) = Р(ф'> Фо) Р (ф/ф', Фо)- (4.5.70)
Интегрируя правую и левую часть соотношения (4.5.70) по ф', получаем
+ со
Р(ф, Фо)= ^ Р (ф'> Фо) Р (ф/ф') <V- (4.5.71)
Деля на функцию плотности р(фо) с учетом равенства Р(ф/фо)р(фо) = р(ф"
Фо) и восстанавливая зависимость от относительных времен, преобразуем
уравнение (4.5.71) к виду
4"0о
Р (ф/фо; t + А/) = jj р (ф'/ф0; t) р (ф/ф'; At) dtf. (4.5.72)
Уравнение (4.5.72) представляет собой фундаментальное соотношение для
плотности условной вероятности марковского процесса (уравнение
Колмогорова - Чепмена).
Из уравнения (4.5.72) и начального условия р(ф/фо;0) = = 6(ф - фо) мы
можем вывести дифференциальное уравнение в частных производных для р(ф;
t). Начнем с интеграла
+ со
/= J R(Ф) dtp, (4.5.73)
где ^?(ф)-произвольная аналитическая функция, на производные которой мы
накладываем определенные условия, которые будут сформулированы ниже.
Запишем интеграл (4.5.73) в
208
Глава 4
виде
+ оо
Д<->0
- оо " -f оо
I - lim \ + f> = . (4 5 74)
Д*-> 0 J
• 4- оо
/? (ф) dtp ^ р (ф7ф0; 0 р (ф/ф'; 0 с?ф' -
- оо
+ 0О -I
- ^ /? (ф') р (ф'/фо; 0 <V • (4.5.75)
- оо J
[+ос
J
- ос
Меняя порядок интегрирования и разлагая аналитическую функцию /?(ф) в ряд
Тейлора в окрестности ср', получаем
, . +00 ?(") /
1 = iSo S Р ^ X! ^ я!Ф ) ^ S (ф ~ фТ р (ф/ф'5 д0 ^ф.
- оо
(4.5.76)
ДС->0
- оо гг =1
где
dnR (ф')
Д(")("р') =
dip'
Обозначим предел нормированного n-го условного момента приращения (ф -
ф') за время Д? через
+ оо
АЛф') = lim \ (ф - фТ р (ф/ф'; ДО dip ("> 1). (4.5.77)
Д*->0 АГ J - оо
Тогда
оо + оо
^ 'геГ S Яи)(ф') 4* (ф') Р (ф7фо! О^ф'. (4.5.78^
В предположении, что функция /?(ф') и ее производные убывают при ф'->-±оо
достаточно быстро и поэтому
/^-'Чф') ап (ф')р(ф7фо; Ol!: = o, Я(в-2ЧфО^[А,(ф')/>(ф7фо; 0]l!: = o,
(45у9)
Я (фО = //"_! [Аа (ф0 р (ф7фо; 0] ?" = о,
йф
проинтегрируем п-й член суммы по частям /г раз. Вычитая разложение
(4.5.78) из соотношения (4.5.73) и заменяя в (4.5.78)
Элементы теории информации и кодирования 209
переменную интегрирования ф' на ср, получаем
J R (ф) Лр {[др-(%ф0' ° ] - ^Г~ [Л, (ф) Р (ф/Фо; 0] } =
0-
-ОО I п= 1 '
(4.5.80)
Так как /?(ф)-аналитическая функция, произвольная с точностью до условий
(4.5.79) на ее производные, для того чтобы интеграл в (4.5.80) был равен
нулю, выражение в фигурных скобках должно быть равно нулю. Следовательно,
(4.5.81)
/7=1
с начальным условием р(ф, 0)= 6(ср - ф0).
Величина Ап(ср') есть предел п-го момента приращения Аф' и может быть
записана в виде
+ 00
Л(ф,)== lim \(Аф')п Р (Аф'/ф') d (Аф') = lim ((Афд/ф К (4.5.82)
At-*Qai J Af-"0 ш
- с"
Вскоре мы покажем, что при п ^ 3 величиньц+4п(ф') равны нулю. Это
означает, что изменения в процессеЧр (t) происходят достаточно медленно и
все моменты, начиная с третьих, убывают быстрее, чем At стремится к нулю.
Следовательно, уравнение (4.5.82) вырождается в уравнение
~ № р fo' м + т w[Л* (ф) р (ф't)l (4-5-83)
где р(ф, 0)==б(ф-фо). Это уравнение известно под названием уравнения
Фоккера - Планка. Его решение дает ф. п. в. при любом t, которая содержит
полное статистическое описание рассматриваемого случайного процесса.
Чтобы теперь получить уравнение в частных производных для ф.п. в. петли
синхронизации фазы p(q>,t), необходимо определить величины Ля(ф). Их мы
находим из дифференциального уравнения (4.5.66), интегрируя правую и
левую часть последнего по бесконечно малому интервалу от t до t + At:
t + Kt
Аф = ф (/-(- At) - ф (t) = [А - АК sin ф (0] At - К ^ n'(t)dt.
1 (4.5.84)
Ясно, что условная плотность приращения Аф при заданном Ф (О имеет
распределение Гаусса, если п' (t) имеет распределение Гаусса. Если
вспомнить, что п'(t)-белый шум с нулевым
210 Глава 4
средним и односторонней спектральной плотностью No, то первые два
нормированных момента, очевидно, равны
А{ (ф) = lim ,{А(Р I = д _ дк sin ф; (4.5.85)
д<-> о АГ
t + i\t t + At
A2 (ф) = lim ((Дф],1 ф) = lim ( ( (n' (t{) n' (t2)) dtx
dt2 =
. At->0 At->0 ar J J
t + At t + At
= jj(tm)045Г S S (4.5.86)
Так как квадрат первого члена в соотношении (4.5.84) имеет порядок (At)2,
а перекрестный член содержит среднее значение величины n'(t), которое
равно нулю, нетрудно показать, что Ап(ф) = 0 при п > 2. В результате
уравнение Фоккера - Планка принимает вид
др (ср, t) д а . . ,А1 , . K2Nо д2р (ф, t)
(4.5.87)
Особый интерес представляет стационарное распределение, соответствующее
др(ц>, t) /dt = 0. Такое стационарное решение существует только в пределе
при t-> оо, т. е.
р(ф)= lim р (ф, t).
t->oо
Полагая a = 4A/KN0 и р = 4A/K2N0, получаем из уравнения (4.5.87)
?(ct sin ф Р) р (ф) + ~^р"] = 0, (4.5.88)
или
р (ф) = С ехр (а cos <р + Рф) I 1 + D ^ ехр (- а cos х - рх) dx
L - л J
(4.5.89)
при -Я ^ ф ^ я.
Для вычисления констант С и D воспользуемся условиями
