Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
с = =-скорость света в вакууме,
V БоЦо
а символ
V' = -----1___-__I--
дх' ^ ду' ' дг'
относится к дивергенции, вычисленной в точке, где находится источник.
Общая геометрия задачи для неэлементарного источника конечных размеров,
занимающего объем V', показана на рис. 3.2.
Сферические электромагнитные волны и информация 101
Проще всего интенсивности источников можно вычислить с помощью
потенциалов (скалярного и векторного). Например, уравнению (3.1.7)
удовлетворяет
В = V X А, (3.1.9)
где А - векторный потенциал.
Подставляя В из соотношения (3.1.9) в (3.1.4), получаем
VX(E + A) = 0, (3.1.10)
откуда
Е + А ± VQ, (3.1.11)
где Ф(г, t)-любая скалярная функция (скалярный потен-
циал), или, если учесть, что в асимптотическом (электростатическом)
случае d/dt-^0, Е = -V(D, то
Е = - VQ - А. (3.1.12)
Подставляя затем Е и В из (3.1.9), (3.1.12) в (3.1.5), получаем
(v!-Tr|r)A = -*iJ+v(v'A + JrT?)- (3.1.13)
С помощью калибровки Лоренца уравнение (3.1.13) можно разделить на два
уравнения - для АиФ соответственно. Запишем
V2A-^-|^=-p0J, (3.1.14)
тогда из уравнения (3.1.13) следует, что
',(Т'А + Лт)=°' (3.1.15)
или, если постоянную интегрирования положить равной нулю, то
*'А+Л1г"0- <зл-|6>
Подставляя выражение для Е из (3.1.12) в (3.1.6), получаем
Г-Ф + V • А =-------------------------(3.1.17)
бо
или, принимая во внимание соотношение (3.1.16),
^Ф-^ = -^-. (ЗЛ.18)
Можно доказать, что калибровка Лоренца (3.1.16) совместима с уравнением
(3.1.8)-законом сохранения заряда; следовательно, расщепление уравнения
(3.1.13) на (3.1.15) и (3.1.16) правильно, но неоднозначность
сохраняется. Но поскольку в
нашей задаче А и Ф - "ненаблюдаемые", вспомогательные
102 Глава 3
функции, их неоднозначность несущественна. Мы всегда получим одни и те же
Е и В, если одновременно выполним преобразования
A^A + VY (3.1.19)
(где У - любая скалярная функция) и
Ф' == Ф ; (3.1.20)
поэтому Е и В остаются инвариантными относительно выбора потенциалов.
Общие решения уравнений (3.1.14) и (3.1.18) имеют вид
А (г, t) = -g- jj dV', (3.1.21)
Ф
"•¦'>=157 (3.1.22)
b0 V'
Применим теперь эти результаты к примеру с элементарным диполем. Так как
р(0 = Л(0, (3.1.3)
J = pv = p-4, (3.1.23).
выражение для векторного потенциала (направленного вдоль оси z) принимает
вид
А = 1lkVirdv'- (3->-24>
V'
, так как dl/dt не зависит от г' и ^ р dV' = е,
А=1<3-|25>
(заметим, что d/dt' = d/dt, поскольку dR/dt - 0).
Определим "вектор Герца" П преобразованием
П=4^Р' (3.1.26)
тогда
А = 9о ' <3.1.27)
Из соотношения (3.1.27) и условия Лоренца (3.1.16) мы получаем для
скалярного потенциала
^ VH
Сферические электромагнитные волны и информация
103
Соотношения (3.1.9) и (3.1.12) позволяют непосредственно найти Е и В (или
Н). Принимая во внимание, что вектор П направлен вдоль оси z, получаем
следующие компоненты:
где р - величина дипольного момента.
Приведенное выше выражение допускает еще большее упрощение, если
заметить, что
Приведенные выше выражения точны, если /макс R, то есть справедливы для
элементарного диполя вдали от источника.
Вектор Пойнтинга, задающий количество энергии, вытекающей за одну секунду
через единичную площадку (Вт/м2), равен
поэтому в общем случае он имеет радиальную компоненту и компоненту,
которая, если она отлична от нуля, обусловливает перенос углового момента
излучением.
Посмотрим, как обстоит дело в случае элементарного диполя. Для большей
определенности выберем гармонический осциллятор р = ро cos со/.
Подставляя это соотношение (3.1.33) - (3.1.36), находим мгновенные
составляющие вектора Пойнтинга. Чтобы провести различие между членами,
соответствующими динамической энергии, запасенной в среде
, COS ft / д2р 9 г)п9л р
т 4ne0R V dR2 к ик к- с2
Яф = Яг = Яо^0,
sin ft ( 1 dp р р \ 4зхе0R \~R~dR W ~ Яг)
(
(
(3.1.29)
(3.1.30)
?-). (3-1.31)
), (3.1.32)
dp dp dt' 1 др 1 др
dR dt' dR с dt' с dt
d2p __ 1 d2p dt' _ 1 d2p _ 1 d2p
dR2 ~ с dt'2 dR ~ c2 dt'2 - c2 dt2
с '
P .
окончательно мы приходим к формулам
(3.1.33)
(3.1.34)
(3.1.35)
S = Е X Н =аягяф + гЯ0Яф = S# + S
г>
(3.1.36)
104
Глава 3
(флуктуирующей от источника к наблюдателю и обратно с частотой со), и
членами, действительно соответствующими одностороннему переносу энергии
от источника к наблюдателю (излучение), проинтегрируем обе части
соотношения (3.1.36) по времени, взяв интеграл по целому числу периодов.
Ясно, члены, соответствующие излучению, выдержат такое усреднение, т. е.
дадут ненулевой результат. Оказывается, что имеется только один та-
2uRJ5tn$ d 1У
кои член, а именно часть компоненты Е&
" sin П р ^ ~ Аne0R 7^
и часть компоненты Н№
AnR с
Таким образом, в случае диполя угловой момент не переносится излучением.
(Перенос углового момента излучением осуществляется в случае муль-
типолюсных источников: на
этом основан принцип работы любого электрического мото-ра!)
Плотность излученной энергии (в Вт/м2) равна
Рис. 3.3. Интегрирование по поверхности сферы радиуса R.
