Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Последнее утверждение означает, что существование любой организационно-
структурной перестройки, способствующей увеличению устойчивости при
данном уровне сложности, может стать путеводной нитью: суть подхода
состоит в исследовании
Нелинейная динамика и статистическая физика
95
относительной вероятности устойчивости матриц при одних и тех же N, С, о,
но при такой перестановке строк и столбцов, при которой все ненулевые
элементы ац входят блоками.
Рассмотрим в качестве примера связи между четырьмя переменными хи Хг, хз,
х4 очень простой матрицы, изображенной
Рис. 2.33. а - разбиение случайной матрицы взаимодействия, приводящее к
разделению системы на две независимые половины. Коэффициенты а,у в
незаштрихованных блоках очень малы; б - диаграмма, показывающая связи
между компонентами системы, описываемой матрицей а.
на рис. 2.33. Если из той же функции плотности вероятности, из которой
взяты элементы ац, произвести повторную выборку с таким расчетом, чтобы
сделать вероятности элементов, стоящих на диагонали ВС, очень малыми, то
матрица, диагонализо-
Рис. 2.34. а - разбиение случайной матрицы взаимодействия, допускающее
{слабое) взаимодействие между частями системы. Коэффициенты ац в
незаштрихованных блоках очень малы; б - диаграмма, показывающая связи
между компонентами системы, описываемой матрицей а.
ванная вдоль главной диагонали AD, даст нам систему, распавшуюся на две
независимые половины.
Но если произвести выборку из нашей ф.п.в. так, чтобы матрица
диагонализовалась вдоль побочной диагонали ВС (сделав очень малыми
вероятности элементов аи, ац, "21, "22, а33, а34, "43, "44), то мы
получим матрицу, условно изображенную на рис. 2.34. Если изменить
расположение ненулевых элементов
96
Глава 2
так, чтобы усилить элементы а\з, Язь ^24, ?42 [т. е. сделать их Р(ац) ~
1], а элементы ан, а4ь а32, а2з ослабить [т. е. сделать их Р (ац) ^-¦ 0],
в результате исходная система распадется на два блока, таких, чтобы
элементы внутри каждого блока сильно взаимодействовали между собой, а
взаимодействие между блоками было слабым. Вычислительный эксперимент в
этом случае показывает, что при одном и том же уровне сложности
разложимость усиливает устойчивость [2.9].
б) Алгоритмическая сложность
Под алгоритмической сложностью мы понимаем минимальное число битов
(наименьшее число инструкций), необходимых внешнему наблюдателю для того,
чтобы полностью воспроизвести данную систему. Оставляя до гл. 6 динамику,
лежащую в основе того, что порождает сложность в системе, мы ограничимся
в этом разделе лишь самыми необходимыми пояснениями к определению
алгоритмической сложности, предложенному в основном Хаитиным [2.10]. Суть
дела сводится к следующему. Мы получаем временной ряд, состоящий из нулей
и единиц. Этот ряд порожден исходами бросаний нефальшивой (идеально
симметричной) монеты, поэтому никаких связей между отдельными членами
ряда не существует. Сколько альтернативных временных рядов длины N мы
можем получить? Ответ зависит от того, какой временной ряд нам нужен.
Если мы не устанавливаем заранее число нулей и единиц в ряде, то общее
число рядов длины N равно 2N. Если же нас интересуют временные ряды с
определенным числом нулей и единиц, то общее число таких рядов равно
N\/N\\NA, где N\ - число нулей, N2 - число единиц (N1 -f- N2 - N). Нас
интересует, какую долю от 2N рядов длины N (априори равновероятных (с
вероятностью 2~N) для внешнего наблюдателя) составляют ряды, сжимаемые до
К битов? Иначе говоря, скольким рядам можно сопоставить алгоритм длиной N
- К, который, если подать его на вход автомата с конечным числом
состояний, порождает на выходе весь ряд длиной N?
Из двух символов 0 и 1 мы можем построить 21 "слов" длиной 1 бит, 22 слов
длиной 2 бит, 23 слов длиной 3 бит и т. д. Общее число рядов, сжимаемых
до К бит, равно
2' + 2г + 23+ ... + 2N~K~l = 2n~k - 2, (2.3.116)
а их доля от общего числа рядов -
9-V- К 9 "
% = ¦ - N - ~ 2 при iV> 1. (2.3.117)
Не без некоторой "меланхолии" мы обнаруживаем, что эта доля быстро
убывает с увеличением К', например, при К = 10 лишь один временной ряд из
тысячи сжимается до 10 бит.
Нелинейная динамика и статистическая физика
97
В общем случае соотношение между длиной алгоритма на входе и длиной
временного ряда на выходе имеет вид
N' ~ iV0 + iVS(0, 1), (2.3.118)
где Н0 включает в себя количество инструкций, входящих во внутреннее
программное обеспечение данной конкретной ма-
Вход
N'
Автомат с конечным числом состояний
Зыход
м'= n0+ N-S(0,1)
N0 ~ InN
Рис. 2.35. "Минимальная" программа N' выполняется в автомате с конечным
числом состоянии и порождает временной ряд длины N.
шины, и по порядку величины сравнимо с In N, а
S(0, l) = -/>(0)log2/>(0)-/>(l)log2/>(l) (2.3.119)
есть энтропия ряда (рис. 2.35) с Д(0) + Д(1) = 1. Таким образом, при Р =
1/2
S(0, 1) = 1
и N', вообще говоря, больше, чем N. Если вероятность Р отлична от 1/2, то
S(0, 1) падает, и при Р = 1 или Р = О
