Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отличаются большей сложностью, чем молекулы воды и двуокиси углерода.
Кроме того, в приведенной выше реакции фотосинтеза увеличение сложности
сопровождается производством энтропии, которое превышает недостаток
энтропии в солнечном свете, инициировавшем реакцию.
На этом иерархическом уровне биологической сложности впервые проявляется
новый побочный продукт эволюции - самоорганизация. Речь идет о том, что
исследуемая система, преодолев некоторый порог сложности, обретает
способность к автономному самовоспроизведению, т. е. свойство, из
которого следует, что система использует "самомоделирующие алгоритмы".
Обсуждение не до конца понятной динамики самовоспроизведе-
Рис. 2.31. Распределение Планка в спектре энергии излучения черного тела
при трех температурах Ти Т2, Т3.
Нелинейная динамика и статистическая физика
93
ния мы отложим до гл. 6, но уже теперь настала пора познакомиться с
понятием сложности - как на структурном, так и на операционном
(алгоритмическом) уровне.
2.3.7. Понятие сложности
а) Структурная сложность и ее связь с устойчивостью системы.
Интуитивно ясно, что структурная сложность системы должна возрастать с
увеличением числа взаимодействующих переменных N. При данном (большом)
числе переменных сложность системы зависит от того, насколько они
взаимосвязаны. Полная взаимосвязанность означает, что все элементы ац в
матрице взаимодействия А линеаризованной системы (разд. 2.2.7) отличны от
нуля. Обычно степень взаимосвязанности переменных мы измеряем числом
O^C^l - долей отличных от нуля элементов ац матрицы А от общего числа
элементов. При данном N > 1 и С ~ 1 элементы ац по существу являются
случайными числами; сложность возрастает с увеличением дисперсии о2
(гауссовской) функции плотности вероятности (рис. 2.32), из которой мы
можем производить выборку отдельных чисел ац.
В качестве компактного "супер-параметра" сложности большой сети с
случайными связями между элементами Макмертри [2.8] и другие авторы
предложили выбрать нелинейную комбинацию r\ = a^jNC. При нулевом среднем
(математическом ожидании) ф.п.в.
N N
<J2=Z Z а2. (2.3.113)
i=1 /=1 1
Значение а характеризует интенсивность взаимодействия внутри системы. С
какой стороны можно было бы подойти к проблеме устойчивости большой
системы? Из того что мы уже знаем, решение этой задачи сводится "просто"
к вычислению собственных значений матрицы А.
Но теперь необходимо соблюдать осторожность. Матрица А - случайная, и
задача состоит в том, как вычислить собственные значения случайной
матрицы с действительными элементами.
Рис. 2.32. Гауссово распределение плотности вероятности коэффициентов
взаимодействия а;/, значения которых выбраны так, чтобы система оказалась
разделенной на иерархически упорядоченные части.
94
Глава 2
Мы не можем вычислять эти собственные значения, решая характеристическое
уравнение
det | Л - IE | = 0. (2.3.114)
Предпринимались попытки определить в общем случае теоретическое
распределение собственных значений случайной вещественной матрицы, но все
они оказались безуспешными. Более того, провал их был предопределен тем,
что поле вещественных чисел алгебраически не замкнуто. В частных случаях
распределение P(Re{^}) удалось получить с помощью численного
моделирования. Но и тогда мы получаем в действительности не набор
определенных чисел Re {Я}, а вероятности того, что величины Re {Яг}
положительны, равны нулю или отрицательны.
Обширные численные эксперименты, проведенные в основном Эшби [2.9],
показали, что, когда параметр ал/NC < 1,
Р (Re (М) < 0) ~ 1 при всех i. (2.3.115)
Это означает, что если сложность системы с случайными связями ниже
определенного значения, то система по существу устойчива. Но, как
показали те же численные эксперименты, выше критического порога ол/ЫС =
\, т. е. при aojNC^l, всегда существует по крайней мере одно i, при
котором R(Re{Xi})~ 1. Система с большой вероятностью становится
неустойчивой. Мы видим, что устойчивость вступает в конфликт со
сложностью. Если бы так происходило в реальных системах, то можно было бы
ожидать, что почти все сколько-нибудь значительные макроскопические
структуры должны быть внутренне устойчивыми. Между тем нам известны
необычайно сложные, например биологические, системы, а также множество
созданных человеком систем, которые, несмотря на чудовищную сложность,
обладают высокой устойчивостью. (Один из предлагаемых ответов на вопрос о
причине устойчивости всех этих крупномасштабных систем состоит в том, что
связи между их элементами не случайны. Правда, во многих случаях такое
предположение не подкрепляется существующими эволюционными теориями:
характерным примером может служить система связей в головном мозге
крупных млекопитающих.) Как такое возможно? Какого рода компромисс может
быть достигнут между, казалось бы, несовместимыми тенденциями
устойчивости и сложности? Ответом на этот вопрос, по-видимому, может
служить "секционирование", или "иерархическое разбиение".
