Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
случае речь идет о распределении Максвелла), так как преобразование
подобия длин порождает точно такое же преобразование подобия скоростей.
Для нерелятивистского газа распределение скоростей и распределение
импульсов совпадают, поэтому, если газ находится в тепловом равновесии,
имея распределение скоростей Максвелла, он останется в состоянии
равновесия и энтропия не изменится. В этом можно убедиться следующим
образом. За время dt атом газа, движущийся со скоростью v относительно
расширяющегося субстрата, проходит расстояние v dt. В этой новой точке
субстрат движется вследствие расширения со скоростью r(vdt)Jr,
88
Глава 2
поэтому скорость, измеренная наблюдателем, движущимся вместе с субстратом
в этой точке, будет на dr = -r{v dt) /г меньше, и мы получаем
"ГГ= 7~ ' (2.3.103)
или
v ~у. (2.3.104)
Так как температура Тт идеального газа пропорциональна его средней
кинетической энергии, т. е. Тт ~ v2 ~ 1/г2, мы заключаем, что
Тт~-рг, (2.3.105)
Tf~r3~V~\ (2.3.106)
где V - объем расширяющегося газа. Итак, мы видим, что энтропия системы
Sm~ R\n(VTf ) (2.3.65)
остается инвариантной при расширении или (сжатии): вселенная, состоящая
только из идеального газа, навсегда останется в состоянии равновесия,
если в начальный момент времени она находилась в состоянии равновесия.
Предположим теперь, что наша вселенная первоначально содержит только
фотоны (в действительности такой случай представился бы, если бы при
большом взрыве барионы и анти-барионы были порождены в равных
количествах). Наблюдательное открытие Хаббла свидетельствует о том, что
при расширении Вселенной длина волны каждого фотона претерпевает
преобразование подобия вместе с r(t), т. е. частота v удовлетворяет
соотношению
v-T^y, (2.3.107)
или если учесть распределение Планка, то, поскольку Er ~ hv,
(2.3.108)
где Е - энергия, соответствующая данной частоте фотона. Ясно, что
расширение Вселенной не изменяет распределения фотонов по различным
частотам спектра черного тела, так как все длины волн претерпевают
преобразование подобия с одним и тем же коэффициентом. Таким образом,
распределение Планка в спектре сохраняется при расширении Вселенной, хотя
темпе-
Нелинейная динамика и статистическая физика
89
ратура Тг ~ Ег убывает пропорционально средней энергии фотонов
Тг~ ~j, (2.3.109)
или
Т3Г~ r(ty3 ~v~l, (2.3.110)
где V - объем газа.
Таким образом, энтропия расширяющегося фотонного газа
Sr~^aVT* (2.3.78)
(а - постоянная Стефана с численным значением 5,67 X X Ю~8 Вт/(м2-К4))
остается инвариантной при расширении: расширяющаяся (или сжимающаяся)
система, содержащая только фотоны, навсегда останется в состоянии
термодинамического равновесия, если первоначально она находилась в
состоянии термодинамического равновесия.
Рассмотрим теперь случай вселенной, равномерно заполненной
нерелятивистской материей и электромагнитным излучением. Расширение (или
сжатие) приводит к охлаждению материи по закону Tm ~ 1 /г2 (t), тогда как
излучение охлаждается по закону Tr ~ 1 /r(t). Материя охлаждается
быстрее, чем излучение. Следовательно, по мере того как расширяется
вселенная, между материей и излучением возникает разность температур:
энергия будет перетекать от поля излучения к материи, стремясь выровнять
температуры. Если скорость расширения меньше, чем скорость выравнивания
температуры смеси, то тепловой поток эволюционирует в равновесных
условиях, и энтропия смеси остается постоянной.
Но если вселенная расширяется быстрее, чем выравнивается температура, то
тепловой поток от излучения к материи развивается в неравновесных
условиях, и энтропия возрастает: вселенная при таких обстоятельствах
оказалась бы "запертой" вдали от термодинамического равновесия, и, если
бы за фазой расширения последовала фаза сжатия, ничто не изменилось бы.
История вселенной конспективно представлена на рис. 2.30. На ранних
стадиях расширения вселенной скорость расширения велика, но смесь материи
и излучения не настолько горяча, чтобы градиент выравнивания температуры
превышал градиент расширения. Поэтому вселенная, если она первоначально
находится в состоянии термодинамического равновесия, навсегда остается в
этом состоянии. Со временем скорость расширения убывает из-за
гравитационных сил, но по мере охлаждения системы скорость выравнивания
температуры убывает еще быстрее. Затем вселенная достигает критического
возраста Тс, когда
90
Глава 2
обе кривые - расширения и выравнивания температуры - пересекаются.
Система выходит из состояния термодинамического равновесия (и в
дальнейшем остается неравновесной), характеризуемого прежде всего
скоростью производства энтропии
?-(?-?)?• <2-3-"'>
где dQ/dt - скорость теплового потока от излучения к материи.
Производству энтропии сопутствует явление все более усиливающейся
дифференциации вселенной - от однородного шара
Рис. 2.30. Пока скорость выравнивания температуры превышает скорость
расширения, система находится в равновесном состоянии. По истечении
