Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдение. Энтропия, порождаемая производимым демоном актом наблюдения,
равна S\=E/T\. Энергия затем рассеивается при температуре Т2 окружающей
среды, поэтому к концу процесса AS = S2- - Si=E(l/Tl - I/T2)-энтропия
возрастает в соответствии с вторым началом термодинамики.
Предположим теперь, что демои использует информацию, почерпнутую им из
наблюдения, и, отбивая ракеткой молекулу вправо, уменьшает начальное
число комплексов ЦГ0, то есть увеличивает энтропию газа в ящике. Как мы
увидим, увеличение энтропии, сообщаемое демоном системе в результате акта
наблюдения, значительно превосходит (небольшую) убыль энтропии,
получаемую при осуществлении демоном своей функции. Увеличение энтропии,
которое вызывает демон, включая своп источник света, равно
A s=-^- = ka, (2.3.53)
О О о 0 •
с • (c) О
о • О О О
о о о 9 • •
о (c) е у уЛ О у"° " •0
• О о •
о • (c) О о " (r) О в о • о (r)
• (c) (c) о ° 9
"Мэкси" в действии
Рис. 2.28. "Демон Максвелла" за работой.
Нелинейная динамика и статистическая физика
77
где k - постоянная Больцмана п а = hv\/kT\~^> 1. (Чем больше величина а,
тем менее четко различие между быстрыми и медленными шарами.)
Пусть So = k In Wo - начальная энтропия в ящике до возмущения и S\ =
k\nW\ - конечное значение энтропии после одного взмаха ракеткой. Энтропия
Si чуть меньше энтропии So; запишем: Wi = W0- W, где W-малая величина.
Убыль энтропии в ящике равна
AS2 = S1-S0 = Aln(^)=Aln(l JL, (2.3.54)
где 1.
Следовательно, полная вариация энтропии равна
AS, + AS2 = A >0, (2.3.55)
так как а 1 и W/W0 <С 1.
2.3.3. Энтропия идеального газа в состоянии термодинамического
равновесия
Если тело (в нашем случае - идеальный газ) обменивается с окружающей
средой количеством тепла AQ, то эта величина
разделяется на две части, из которых одна изменяет внутрен-
нюю (кинетическую) энергию системы на величину Е, а остальная часть
затрачивается на работу pV, совершаемую системой против окружающей среды
или окружающей средой над системой в завнсимостн от знака AQ. (При
увеличении объема энергия уходит из системы.) Таким образом,
dQ = dE + pdV. (2.3.56)
Из уравнения состояния идеального газа (2.3.46), (2.3.47), записанного
для одного моля, получаем
pV = у Ntm? = (2.3.57)
= ^(NmxF) = ^E = RT, (2.3.58)
где E=(N/2)mv2 - внутренняя энергия идеального газа, v2 - дисперсия
распределения скоростей на одну молекулу. Следовательно,
dE R dT. . (2.3.59)
Из того же уравнения pV = RT следует, что
p = RT/V, pdV = RT dV/V.
(2.3.60)
(2.3.61)
78
Глава 2
Подставляя (2.3.59), (2.3.61) в соотношение (2.3.56), выражающее закон
сохранения энергии, получаем
dQ = R(T^-+^^) (2.3.62)
Величина dQ всегда неотрицательна. Хотя в соотношении (2.3.62) она
выражена через функции состояния, сама dQ не является функцией состояния.
Интеграл от правой части (2.3.62) зависит от пути интегрирования на
плоскости VT. Следовательно, величина Q, вычисляемая как интеграл от
правой части соотношения (2.3.62), зависит не только от текущих значений
функций состояния в данный момент, но и от своей предыстории. Иначе
говоря, правая часть соотношения (2.3.62)-неполный дифференциал. Эта
трудность легко преодолима, если разделить правую и левую части
соотношения (2.2.62) на Т. Если Т - положительная величина, то величина
dS = dQ/T всегда остается неотрицательной. (Тем самым вариационный
принцип для состояния равновесия в открытой системе сводится к условию dE
- TdS^ 0, или, что то же, к минимизации свободной энергии F = Е - TS.) В
результате мы получаем
"-*(-v-+4f)
и функцию состояния - энтропию газа
5 = R [In V + (3/2) In Г] + S0,
или
S~R\n(VTf), где индекс m у Tm означает "масса".
2.3.4. Энтропия фотонного газа в состоянии термодинамического
равновесия
В предыдущем разделе нам удалось вычислить энтропию идеального газа как
функцию его объема V и температуры Тт без использования функции плотности
вероятности (ф.п. в.) скоростей, т. е. распределения Максвелла (этого
можно было бы ожидать, исходя из формулы, задающей физическую энтропию
системы). Мы же воспользовались эквивалентной формулой Клаузиуса.
В этом разделе мы хотим, используя макроскопическую термодинамику,
вывести формулу для энтропии ящика, содержащего фотоны в состоянии
термодинамического равновесия (идеальный релятивистский газ), не выводя
пока распределение Планка.
(2.3.63)
(2.3.64)
(2.3.65)
Нелинейная динамика и статистическая физика
79
Для чего нужны такие вычисления? Мы намереваемся понять, что происходит в
замкнутой системе, в которой сосуществуют по крайней мере два сорта
частиц (барионы и фотоны). Точнее говоря, мы хотим понять с точки зрения
термодинамики, что произойдет при расширении "ящика", или при растяжении
его метрики, как это происходило с нашей Вселенной в момент большого
взрыва. Разумеется, мы не настолько глупы, чтобы пытаться построить
математическую модель расширяющейся Вселенной. Наша цель куда скромнее:
мы хотим лишь отметить несколько непременных предпосылок, по которым
