Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 30

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 187 >> Следующая

требует конечного времени (соизмеримого с временем релаксации приемника,
состоящего нз частиц), то знание любого числа А0 с бесконечной точностью
потребовало бы бесконечно большого времени.
Из приведенной выше рекуррентной формулы мы получаем (АДД = 2" (АД0) ¦
Это означает, что начальная неопределенность АХ0 (сколь угодно малая, но
отличная от нуля) с увеличением числа итераций растет экспоненциально.
Если До известно с точностью, например ~10-31, то через 100 итераций
начальное условие Х0 оказывается полностью забытым, и в дальнейшем
рекуррентный алгоритм функционирует как "генератор псевдослучайных
чисел", порождая экспоненциально расходящуюся последовательность знаков,
хотя соотношение, лежащее в основе такой последовательности, вполне
детерминистично. В этом, как в капле воды, суть "хаоса": его
существование обусловлено со-
72 Глава 2
четанием конечной точности любого начального условия и экспоненциальным
распространением этой (неизбежной) начальной ошибки. На этом мы завершим
свой "экскурс".
Выясним теперь, при какой функции f(x) из числа функций, имеющих заданную
дисперсию, энтропия 5 достигает максимума. Запишем
S = - ^f(x)lnf(x)dx. (2.3.39)
Мы должны максимизировать это выражение относительно произвольных
вариаций f(x) в подынтегральном выражении величины
+ 00 + оо + со
F(f(x)) = - ^ f (х) In f (х) dx -¦ а ^ f(x)dx - р ^ x2f(x)dx,
- 00 - оо -со
(2.3.40)
где а, р- множители Лагранжа при двух ограничениях, а именно
+ оо + оо
f(x)dx = 1, 5 x2f{x)dx = e2. (2.3.41)
- 00 -со
Отсюда следует, что для максимума должно выполняться равенство - 1 - In
f(x) -а - рл:2 = 0, или f (х) - ае~Рх2.
+ оо
Если мы воспользуемся связью ^ f (х) dx = 1, то
- со
+ оо
a U е~^х dx = а ^ =1, (2.3.42)
- 00
откуда
а=VV
+ оо
а если воспользоваться связью ^ x2f (х) dx = о2, то
- оо
+ оо
а2 = а 5 *2e-p*2^ = T(fO'/2=V (2-3'43)
Таким образом, энтропия максимальна, когда ф. п. в. имеет вид / {х) =
(2ла2)_1/2ехр (-+/2а2), (2.3.44)
Нелинейная динамика и статистическая физика
73
т. е. когда она гауссовская; соответствующее максимальное значение
энтропии равно
S= - \jf(x)lnf(x)dx = - \)f (х) dx [- - (22я- - =
= y In (2яа2) + -^5- ^ x2f (х) dx = y In (2яеа2) = In (V2яе а).
(2.3.45)
Наконец, мы переходим к изучению термодинамической энтропии (как ее более
столетия назад определил Клаузиус) и попытаемся связать ее с физической
статистической энтропией, о которой говорилось выше. Лучше всего начать с
какого-нибудь характерного примера, то есть выбрать какую-нибудь
конкретную систему - в нашем случае идеальный газ во внешнем поле (а
именно, в гравитационном поле, экранировка от которого невозможна даже
теоретически). Идеальный (одноатомный) газ в состоянии термодинамического
равновесия характеризуется только одной макропеременной, а именно полной
(средней) кинетической энергией или температурой Г; эти две величины
связаны между собой через переходный множитель - постоянную Больцмана -
следующим образом:
kT = \-mv2, (2.3.46)
где т-масса каждой молекулы газа v2- дисперсия распределения скоростей.
В формуле (2.3.46), по существу представляющей собой
определение температуры, Т выражается в кельви-
нах, энергия-щ джоулях. Потенциальная энергия, т. е. энергия,
ответственная за столкновения между отдельными молекулами газа, хотя она
и отлична от нуля, считается пренебрежимо малой по сравнению с
кинетической энергией. Три макропеременные- объем V, давление р и
температура Т-связаны уравнением состояния
PV = NkT, (2.3.47)
где N - число молекул рассматриваемой системы. Так как гравитационные
силы действуют на каждую молекулу газа, давление газа не одинаково всюду,
а изменяется от точки к точке. Для простоты мы рассмотрим случай, когда
полевые силы действуют в заданном направлении, которое мы выберем за ось
2. Рассмотрим две единичные площадки, перпендикулярные оси г и отстоящие
друг от друга на расстояние dz. Если давление газа на две площадки равно
р и р -j- dp, то разность давлений dp должна быть равна равнодействующей
сил, приложенных к частицам газа, заключенным в параллелепипеде с
единичным
74
Глава 2
основанием и высотой dz. Если F - сила, приложенная к одной молекуле, п -
число молекул в единице объема, то dp = nFdz. Сила F, действующая на одну
молекулу, связана с потенциальной энергией u(z) молекулы соотношением F =
-du/dz, поэтому
dp= - ndz-^- - - ndu. (2.3.48)
Из уравнения состояния (2.3.47), полагая N/V = п, получаем р = nkT. Мы
будем предполагать, что газ находится в равновесии (см. пример ниже),
поэтому температура Т везде одна и та же. Тогда dp = kTdn = -ndu, откуда
^L==d(lnn) = --g-I (2.3.49)
п = л0ехр (- u/kT),
где по - постоянная (плотность газа при нулевом потенциале).
Соотношение (2.3.49), связывающее вариации плотности газа с потенциальной
энергией молекул газа, называется формулой Больцмана. Так как давление
отличается от плотности постоянным множителем kT, аналогичное соотношение
справедливо и для давления:
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed