Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя это выражение вместо dNi/dt в (2.3.29), получаем
А А
dS
dt
так как
л
(2.3.30)
i = 1
время, равно Z Ul{Nf. Таким образом,
- Z UtlNt + Z UpN,.
i=i /=i
(2.3.31)
(2.3.32)
п Отсутствие корреляций обычно приписывают каскаду соударений между
отдельными частицами, приводящему к забыванию любого начального условия.
Нелинейная динамика и статистическая физика
69
Перестановка индексов i и / в силу принятых хаотических условий очевидным
образом не сказывается на левой части уравнения (2.3.33) и позволяет нам
записать уравнение
-ЗГ-тЕ ^U,dN,-Nt)\aN,-
1Х№-ЛГ,)1п/У,. (2.3.34)
У 1=1 /=1
Наконец, складывая уравнения (2.3.33), (2.3.34), получаем
4f=2Fi§ ? ^ ^ ^(1п " 111 ^ ^ °' (2'3'35)
Равенство выполняется в тех случаях, когда iV; = Nj при всех i и /, т. е.
в состоянии абсолютной однородности, или в состоянии
а б
Рис. 2.26. a - при неограниченном увеличении числа взаимодействующих
частиц энтропия идеального газа как системы монотонно возрастает; б - при
большом, но конечном числе взаимодействующих "твердых сфер" энтропия
возрастает через флуктуации. Коль скоро состояние термодинамического
равновесия достигнута, флуктуации как в одну, так и в другую сторону от
него равновероятны из-за идеальной симметрии в состоянии
термодинамического
равновесия.
идеальной симметрии, которое является состоянием "термодинамического"
равновесия.
При Ni->-oо функция S = f(t) монотонно, т. е. необратимо, стремится к
максимальному равновесному значению и, достигнув его, остается далее
неизменной (рис. 2.2.26, а). При конечных, хотя и больших Ni, а именно
такой случай является реалистическим, ход энтропии со временем показан на
рис. 2.2.26, б.
По достижении состояния равновесия флуктуации в обе стороны (априорно)
равновероятны. Эти флуктуации обусловлены тем, что при конечных JV,-(или
для систем, замкнутых в конечных
70
Глава 2
объемах) отклонения от средних значений ДГ,- весьма значи-тельны. В тех
случаях, когда флуктуации вокруг средних зна-чений ДГ; (которые много
больше 1) имеют дисперсию (АДГ?), сравнимую с ДГ,- (случаи фазовых
переходов), выведенное соотношение dS/dtZ^ 0 нуждается в пересмотре.
Прежде чем переходить к вычислению термодинамической энтропии и
исследованию ее связи с информационной и физической энтропиями, выясним,
как можно выразить энтропию непрерывного, а не дискретного распределения
апри-Рис. 2.27. Величины, используемые орных вероятностей (рис. 2.27).
при вычислении энтропии непрерыв- Чтобы вывести выражение для
ного распределения. энтропии в случае, когда функ-
ция плотности вероятности f(x) непрерывна, запишем Pi = fi(xt)AXi и
подставим правую часть вместо Pi в нашу формулу для энтропии (2.3.11):
А
S = - X [/ (ч) Ад;,-] {logs [/ (Xi) A*j]} =
i = l
Л Л
= - Z f (Xi) log2 / (Xi) A Xi - X f (x{) А,Г,- log2 Ахг. (2.3.36)
i= i 1 = 1
Переходя теперь к пределу при Д.гг-н>-0 и А-^-оо, получаем
5== lim X/(4)log2/(*,-) Ax,-j +
Л
с
А X ; О
+ lim
Л-> оо Л X : -> О
или
так как
- ? f (-Ч)А*г] log2Ax,|,
S = - ( / (дс) log2 / (x) dx + lim (- log2 Ax,-), (2.3.37)
Hm [ Yj f ^ Лх' ] = \f(x)dx=l.
AxT->0 " = 1
(2.3.38)
В соотношении (2.3.37) второй член в правой части стремится к
бесконечности при Ах,-н>-0, и мы заключаем, что энтропия не-
Нелинейная динамика и статистическая физика
71
прерывного распределения бесконечно большая. В нашем заключении нет
ничего парадоксального, более того, его следовало предвидеть заранее.
Вспомним, что с точки зрения теории информации энтропия системы есть не
что иное, как число вопросов, на которые необходимо ответить "да" или
"нет" для того, чтобы полностью определить состояние системы. В системе с
бесконечным числом состояний однозначное задание одного из них очевидным
образом требует бесконечного числа вопросов, и в свою очередь бесконечная
серия ответов "да" или "нет" порождает бесконечное число битов. Однако,
выбирая в приведенном выше выражении "шаги квантования" Дх; = 1, мы
приходим к конечному числу битов.
В этом месте мне трудно удержаться от искушения привести следующий
пример, хотя я рискую при этом забежать далеко вперед и преждевременно
познакомить читателя с материалом, по существу относящимся к гл. 6.
Рассмотрим внутри единичного интервала [0, 1] очень простое (кусочно-
линейное) рекуррентное соотношение Хп+\ = = 2A"(modl). Начнем итерацию с
произвольного начального значения Х0, записанного в двоичной системе,
например с Х0 = = 0,110101111010101 .... Каждая итерация сдвигает запятую
на один знак вправо. Через \ итераций Хо перейдет в число Хг = 2*Хо.
Начальное значение Ха никогда не может быть известно точно- даже
теоретически. Почему? Да потому, что для точного задания Д0 нам
понадобилось бы бесконечно много раз задать вопросы (и бесконечно много
раз получить ответы "да" или "нет"), т. е. выполнить бесконечно много
измерений. Но, как мы только что доказали, энтропия непрерывного
распределения бесконечна. Если учесть, что проведение каждого измерения
