Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
частоту щ, ста-
Приложения
467
новится модулированным по фазе, или "дергающимся". Этот эффект
систематически наблюдался во многих биологических
<р
<?
Рис. В.1. Типичные траектории на плоскости (ср, ф): а -жесткая
синхронизация; и - мягкая синхронизация; в - чистые свободные колебания;
г - модулированные свободные колебания.
ритмах (в том числе циркадных часах) под воздействием естественной
окружающей среды.
В.2.3. Чистые "свободно бегущие" колебания
В этих случаях осциллятор колеблется с собственной частотой. Захвата
частоты не происходит, и разность фаз со временем изменяется линейно
(рис. В.1,е).
В.2.4. Свободно бегущие колебания
В этом случае синхронизация никогда не наступает, разность фаз со
временем изменяется по непериодическому закону, а мгновенная частота
совершает колебания относительно постоянного среднего значения (рис.
В.1,г).
В.З. Аналитические вычисления и моделирование на компьютере
Преобразуем уравнение (В.1.1), чтобы вывести дифференциальные уравнения
движения в плоскости (ф, ср). Запишем решение уравнения (В.1.1) в виде
x(t) = А (t) sin [со/ - ф (/)] = А (t) sin ф (/), (В.З. 1)
где ф(/) = соt - ф(/)- Перед нами волновое движение с модуляцией по
амплитуде и фазе. Здесь ф(/)-мгновенная разность
468
Приложения
фаз между ритмоводителем и осциллятором, A (t) - изменяющаяся в
зависимости от времени амплитуда колебаний. Дифференцируя решение (В.3.1)
по t, получаем
d2x
~1А~
dt
f d2A 4 dt2
dt
• Aa>2
+ 2шЛ41
Лр \ dt2 J
n ф -
(B.3.2)
(B.3.3)
Подставляя полученные выражения в уравнение (В. 1.1), получаем
М (/) sin -ф + N (/) cos ф == О, (В.3.4)
где
"""Д1 -'/#+"-") -4+
+2"'4 Ж - -4 (4r)s+<? sin <в'3'5>
N W = - 21 ТЖ - 2 ТТ + 'tA 4f+ 2" 4? - '1"А - ";?cosф
(В. 3.6)
и
/ = (1 - |3х2) со0 = со0 {1 - (3A2 sin2 [Ы - ф(/)]}. (В.3.7)
Определим A(t) и ф (t) так, чтобы квадратичные члены одновременно
обратились в нуль, т. е. M(t) =0 и N (t) =0 (в этом случае условие
(В.3.4) выполняется).
Таким образом, связанные нелинейные дифференциальные уравнения для A(t) и
ф (t) имеют вид
ЧГ ~ Bf 4г + ("о ~ "2) Л + 2соЛ ДГ - А ( Дт)' = ~ <Е sin Ф>
(В.3.8)
- 21 51 - 2 4г Д +'И Д + 2" 4f - е/".4 = <? cos ф.
(В.3.9)
Это - четырехмерная система, зависящая от времени, которую можно
моделировать на аналоговом или цифровом компьютере. Прежде чем переходить
к моделированию, запишем нашу систему уравнений в каноническом виде.
Выберем следую-
Приложения
469
щие переменные состояния:
<7i(0 = (P(0 -ошибка в фазе;
<7г (0 -= Ф (О -мгновенное приращение угловой скорости;
<7з (t) = А (/) - амплитуда;
, , гМ (t)
Яа\ч =--скорость изменения амплитуды.
Можно показать, что в канонической форме наши уравнения имеют вид
(В.З. 10) (В.3.11)
1Г = ?., (В.З. 12)
= ^9* + 9з [(w - - "й] - <йаЕ sin 4i. (В.З.13)
где
/ = со0[1 - Э<?§ sin2 (со/ - <7i)]. (В.З. 14)
Единственный член в системе, зависящий явно от времени, это f. Функция /
изменяется с угловой частотой 2а, если происходит затягивание фазы, т. е.
величина <7i(7) ограничена. В явном виде / записывается так:
/ = со0 (i - Р<72) + ~ соор<732 cos (2at - 2ql). (В.З. 15)
Таким образом, мы получаем неавтономную систему уравнений
q = y(q; 0, (В.з.16)
где q - вектор состояния:
q = (<7i. <72, <7з> <?4)г, (В.З. 17)
у-нелинейная вектор-функция:
У(q: 0 = [M<7i, <72, <7з, Яа\ 0, F>(<7i, <7г, <7з, <7Т, 0,
^з (<7ь <7г, <7з, <741 0, ^4 (<7ь <7г, <7з, Яа\ 0F- (В.З. 18)
Если неавтономная система (В.З. 16) исходит из некоторого начального
состояния q(0), то ее эволюция определяется траекторией в четырехмерном
пространстве состояний. Нас сейчас интересует только проекция этой
траектории на плоскость (qi, qi), т. е. (ф, ф). Это связано с тем, что
самый прямой метод
470
Приложения
изучения синхронизации по частоте состоит в исследовании ошибки, или
рассогласования, по фазе. Вариации амплитуды имеют второстепенное
значение. Исключить аналитически переменные состояния q3 = А и = А из
дифференциальных уравнений (В.З. 10) - (В.З. 13), чтобы получить
непосредственно дифференциальные уравнения движения в проекции на
плоскость (ф, ф) не представляется возможным. Уравнения (В.З. 10) -
(В.З.13) можно было бы рассматривать как параметрическое представление
этого движения. Прн моделировании системы на цифровом компьютере мы,
задав начальное состояние g(0), сосредотачиваем внимание на значениях
ф(1) и ф(1) при одном и том же t. Для численного интегрирования системы
(В.З. 10) - (В.З. 13) на цифровом компьютере мы использовали метод Рун-ге
- Кутта.
В.4. Поведение осциллятора под действием
приложенного извне гармонического возбуждения (затягивание частоты)
Предположим, что при t = 0 к осциллятору ван дер Поля приложено внешнее
электромагнитное поле. Нормированная величина напряженности поля равна Е,
его угловая частота со отлична от собственной угловой частоты о0
осциллятора. Таким образом, мы имеем внезапно приложенную расстройку по
частоте Д(о=со - coo или нормированную расстройку на входе У = (со/соо) -
