Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
стационарными состояниями), зависят от (а) передачи информации
(афферентные сигналы), поступающей от ближайшего снизу уровня; (б)
информации, поступающей из окружающей среды (т. е. через периферическую
нервную систему); (в) управление по каналам обратной связи (эфферентные
сигналы) с ближайшего сверху уровня.
Каждую иерархическую платформу можно при этом рассматривать в очень
упрощенном виде как динамическую связь (ограничение), в которой
непрерывно происходит "хранение и интегрирование" информации, или
процедура установления кросс-корреляции. Это означает, что сигналы хi(t),
последовательно передаваемые "снизу" (каждый сигнал соответствует другому
состоянию системы на ближайшем уровне снизу), и сигналы w%{t),
поступающие из окружающей среды,усредняются по времени после того, как
они достигнут принимающей платформы. В результате такого усреднения
некоторые из переменных x%(t) на более высоком уровне оказываются
полностью исключенными, или "вымытыми", а другие - нелинейно
коррелированными (попарно):
(xl (t) w\ (t + т)),
где 0 << т < Т и Т - время передачи сигнала с ближайшего уровня снизу или
из внешней среды. Между событиями, происходящими одновременно на
различных иерархических уровнях, существует, таким образом,
корреляционное, а не причинное соответствие. Отображение, возникающее на
границе между последовательными уровнями, не является взаимно
однозначным.
Переменные у,- на рассматриваемом "принимающем" уровне У (описывающие
автономное врожденное поведение на этом уровне) ограничены
("абстрагированы") в гораздо большей степени, чем переменные на
"передающем" нижнем уровне X. Следовательно, более высокие иерархические
уровни более высоко организованы или избыточны и в "описательном" смысле
проще, чем прежние уровни. В этом приложении мы рассмотрим эволюцию во
времени и самоорганизацию сложных биологических систем на одном или двух
высших иерархических уровнях.
Относительно шума в системе мы примем следующие предположения: хотя
(сильный) шум вызывает ("дергающуюся") модуляцию и амплитуды, и фазы, мы
будем рассматривать ниже слабый (квазистационарный) аддитивный шум,
действующий только на амплитуды соответствующих переменных.
После этих предварительных замечаний мы можем приступить к главному.
Рассмотрим открытую неконсервативную систему 2, (описываемую на некотором
иерархическом уровне Z),
446
Приложения
состоящую из нелинейных взаимодействующих компонент ("реагирующих
веществ"), число которых равно nz{t). Эти компоненты (переменные) можно
представлять в виде незатухающих осцилляторов (гамильтонова или
неконсервативного типа), сосредоточенных или распределенных (нормальные
моды). Каждая активная компонента системы представлена случайной фазой
(т. е. негармоническим колебанием с примесью слабого аддитивного шума):
zk(t) = Ak( t)e^\ (А. 1.1)
где (0 = (r)kt + соА (t) характеризуется непрерывной функцией распределения
совместной плотности вероятности р* (Л*, ф*; t).
Динамически система S на уровне Z моделируется системой, состоящей из
nz(t) связанных нелинейных дифференциальных уравнений (для "скоростей
реакций"), которые в отсутствие изменяющейся со временем дифференциации
(V2z, = 0) имеют вид
dz 1
dt
k
dt
dz
ny{t)
dt
ck>
),
(A. 1.2)
и, если противное явно не оговорено
дА
dnz (t)
dt
<
dt
то предполагается, что
d<fk
dt
Описывая динамическое поведение системы на уровне Z уравнениями (А. 1.2),
мы по существу имеем в виду, что активность в системе началась как шум,
более или менее ограниченный на весьма ранней стадии развития организма
взаимодействием между окружающей средой и динамической активностью на
иерархических уровнях, лежащих ниже Z. Однако шум не полностью подавлен
наложенными связями: часть шума (мы будем называть ее здесь аддитивным
шумом) и порождает элемент производительности, гибкости или даже
"оригинальности" (в зависимости от того, как мы на это смотрим) в
поведении системы на уровне Z.
Чтобы проследить за поведением уровня Z во времени, важно вывести не
аналитические выражения для связанных случайных процессов zk, а их
совместное распределение плотности
Приложения
447
вероятности
р (Zj, Z2, . • • , Zn (О" О*
В принципе это совместное распределение может быть получено из уравнений
(А.1.2) и последующего решения при заданных начальных и граничных
условиях соответствующего (п (/)+!)-мерного уравнения Фоккера - Планка
[П.1], которое (в пределе слабого аддитивного шума в окрестности
стационарного состояния) описывает диффузию во времени совместной функции
плотности вероятности p(zu z2, zn(ty, t).
Зная это распределение, мы можем вычислить мгновенное значение (условной)
энтропии системы
5(0 = С! + с2 jj р (zu z2, . . ., Zn(th Ologzpfo, z2, . . ., Zn(t)\ 0 dv,
(A. 1.3)
где dv = dzidz2 ... dzn(ty, интегрирование проводится по объему v в
фазовом пространстве; Z, Z\, z2, ..., zn(t) в результате происходящего
процесса организации становятся статистически коррелированными; с\ и с2 -
