Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
абстрагирования, содержащегося в сигнале описания и достижения за счет
этого более высокой степени предсказуемости. Достижение сжатия сводится к
формированию коллективных свойств из переменных анализируемого сигнала. В
области описания, удовлетворяющего уравнению для многочастичной функции
распределения ("основному уравнению"), это сводится к сжатию функции
плотности вероятности Р (х) и переходу к приближению "среднего поля". Эта
операция включает в себя "развязывание" моментов и в пренебрежении
старшими моментами (дисперсией и т. д.) функции плотности вероятности по
сравнению с ее первыми моментами. Интересно отметить, что функция
плотности вероятности Р(х), например, логистического отображения,
выведенная нами в разд. 6.3.5, при а = 4 имеет гиперболическую форму, при
которой медиана - наименее вероятное значение. В таких случаях любое
предсказание, основанное на "законе средних", неминуемо оказывается
ложным.
Напомним (см. [6.19]), что вблизи точек бифуркаций начинаются переходы
либо между стационарными состояниями, стационарными состояниями и
предельными циклами, либо периодическими орбитами и хаосом, особенно
между циклом периода 3 и хаосом; у функции плотности вероятности Р(х)
появляются два или несколько "горбов" или она приобретает гиперболическую
форму (и тогда медиана перестает быть наиболее вероятным значением). Все
моменты функции плотности вероятности могут оказаться сравнимыми по
величине и связанными (по существу, через нелинейность вероятностей
перехода "основного уравнения"). Более высокий уровень возникает из этого
уравнения при взятии последующих моментов. Мы видим, таким образом, что
"макроописание" на уровне, где протекает когнитивная деятельность,
требует столько же степеней свободы (моментов), сколько их необходимо при
"микроописании" на более низком иерархическом уровне. Именно это
обстоятельство имеют в виду, когда говорят, что динамика на двух
последовательных иерархических уровнях перемешивается: описания,
принадлежащие двум различным иерархическим уровням (вблизи точек
бифуркации) становятся неотличимыми.
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
399
Наконец, в том случае, когда управляющие параметры допускают
существование только стационарных состояний и периодических орбит, вдали
от бифуркаций, режим среднего поля обеспечивает хорошее приближение, т.
е. описания на различных иерархических уровнях - "микроуровне" переменных
и "макроуровне" моментов - различны. Это обусловлено малым расплыванием
функции плотности вероятности относительно среднего.
Тем не менее в подобных случаях возникает застой, так как в близкой
окрестности аттракторов указанных выше двух типов информация не
производится и не утрачивается. "Машина" просто останавливается, как это
происходит, например, при вычислении цифр (знаков) рационального числа.
Продолжение такого процесса привело бы (в буквальном смысле) к
зацикливанию. С другой стороны, когда управляющие параметры допускают
возникновение непрерывного самоподдерживающегося хаоса, функция плотности
вероятности расплывается (и покрывает узкие, близкорасположенные полосы
или весь интервал) и в зависимости от отображения может выглядеть
совершенно иррегулярно. Такое поведение функции плотности вероятности
может также свидетельствовать о нарушении режима среднего поля. Таким
образом, несмотря на то, что странный аттрактор одновременно производит и
сжимает информацию для различных переменных, непрерывный хаос, по-
видимому, не является идеальной моделью лингвистической системы.
Предпочтение скорее следовало бы отдать "перемежающемуся" режиму, при
котором хаос, так сказать, неустойчив, вследствие чего открываются
возможности спонтанного чередования растяжения и сжатия функции плотности
вероятности. К счастью, репертуар упоминавшихся выше простых динамических
систем включает в себя те два различных типа поведения, о которых мы
только что говорили, а именно: (а) метастабильный хаос и (б)
перемежаемость.
Под метастабильным хаосом (реализующимся в некоторых окнах пространства
управляющих параметров) мы понимаем переходный режим, время затухания
которого имеет экспоненциальное распределение. После начального периода
иррегулярных колебаний почти каждая траектория выходит на периодическую
орбиту. В общем случае средняя продолжительность хаотического режима не
велика и составляет обычно около 50 итераций, но "методом проб и ошибок"
можно найти такие начальные точки, для которых хаотический период длится
гораздо дольше.
В других ситуациях режим метастабильного хаоса может переходить в
стационарное состояние или в другой режим, также хаотический, но
обладающий существенно другими свой-
400
Глава 6
ствами и, следовательно, другой функцией плотности вероятности и
занимающий другой подынтервал всего аттрактора. Возьмем и такой случай,
когда новый режим в свою очередь оказывается метастабильным и переходит в
конце концов в третий режим или возвращается к исходному режиму.
