Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
существу как сумма вкладов двух полос высоты 1 вдоль оси у п ширины,
соответственно, Ха и Хь вдоль оси х. Обозначим эти вклады через /Де) и
/Де). Полная вероятность того, что система окажется в первой полосе,
равна а, полная вероятность того, что система окажется во второй полосе,
равна 1 - а. Пусть п(е), как обычно,- число полос шириной е (разрешающая
способность), покрывающих весь аттрактор. Из свойств подобия системы
следует, что для покрытия, например, первой полосы в интервале [0, Ха]
при разрешающей способности еХа также требуется п(е) "ячеек".
Напомним определение информационной размерности:
в; = г,т ИД. <6Л51>
".юв,(1)
где
п (Е)
/(е) = ?РДо?2(-^-) (6.4.52)
г=1
и Pi - вероятность того, что i-й и /V-мерный "куб" содержит
точки аттрактора. Таким образом, для полосы [0, Ха] преобра-
Стохастичность: хаос и странные аттракторы 383
зования пекаря мы получаем
п(е)
1а (ъХа) = ? aPi log2 (-^-) = a[log2 (-Г) + / (е)]. (6.4.53)
Заменяя в соотношении (6.4.53) гка на е, запишем его в виде
la (е) = а l°g2 (~) + al ( ¦ (6.4.54)
Аналогичное соотношение
1Ь (е) = (1 - a) log2 (т^) + (I ~а)1 (^) (6.4.55)
справедливо для второй полосы [1/2, (1/2) +Л*]. В результате, так как
1(e) = 1а(е) + Д(е), мы приходим к соотношению
I (е) = а! (-?-) + (1 - а) I (^) + S (а), (6.4.56)
где величина S(a), вычисляемая по формуле (6.4.48), была введена в разд.
(2.3.2) как "бинарная функция энтропии" и представляет собой информацию,
содержащуюся в бросании монеты ("орел" - "решка"), когда выпадение "орла"
(или "решки") имеет априорную вероятность а.
Подставляя выражение (6.4.56) в определении D'{ = = I (e)/log2 (1/е) и
используя известные теперь выражения для 1(e), I(е/Ха) и / (е/Хь),
получаем после несложных преобразований
г ггт-^- 1 (64-57)
"|ог4тг) + <1"")|овг (дт)
и, наконец,
D, = dL. (6.4.58)
Для симметричного отображения, т. е. при а = 1/2 и Ха - = Хь = 1/3, это
дает
для а - 1/2, Ха - Хь = 1/2
D,= 2.
Последний результат можно было бы ожидать заранее, так как единичный
квадрат покрывается отображением эргодически и в направлении оси г, ив
направлении оси у.
Таким образом, вычисляя показатели Ляпунова для нашего дискретного
отображения или для аттрактора непрерывной
384
Глава 6
системы, мы получаем выражение для информационной размерности аттрактора,
задающее в действительности степень сжатия информации, достигаемую
рассматриваемой динамической системой.
6.4.3. Понятие метрической энтропии (Колмогорова - Синая) и ее связь с
информационной размерностью
До сих пор мы занимались исследованием количества информации, получаемой
наблюдателем при одном изолированном измерении, производимом над
динамической системой со странным аттрактором, или количества информации,
необходимого наблюдателю для однозначного задания одной точки на
аттракторе. Обратимся теперь к "динамической" задаче. Предположим, что
обладающая аттрактором система "развертывается" перед наблюдателем.
Спрашивается, сколько новой информации получает наблюдатель, производя
последовательные измерения во времени, т. е. получая от системы сведения
о репертуаре ее режимов в виде серии дискретных "импульсов" во времени.
Ясно, что если аттрактор - устойчивое стационарное состояние, то, коль
скоро процесс измерения фиксирует это состояние, дальнейшие измерения
излишни: статичный объект не дает никакой новой информации.
Аналогичным образом, если аттрактор - предельный цикл, то коль скоро
переходные режимы, связанные с замыканием одного периода, завершаются,
дальнейшие наблюдения порождают лишь избыточную информацию. То же самое
происходит и с любым другим периодическим аттрактором, например с
(рациональным) 2-тором. Однако ситуация резко изменяется, если мы имеем
дело с апериодическим (странным) аттрактором. В этом случае система
непредсказуема, и метрическая энтропия, к обсуждению которой мы сейчас
переходим, дает верхнюю границу скорости получения информации от
эволюционирующей во времени динамической системы. Можно ожидать заранее,
что, пока управляющий параметр динамической системы, обладающей
аттрактором (репертуар которой состоит только из устойчивых периодических
траекторий), достигнет первой точки накопления, метрическая энтропия
должна быть равна нулю и должна начать свой "взлет" сразу же после
появления первой апериодической траектории.
Предположим, что наблюдатель принимает дискретный временной ряд,
представляющий собой эргодическую марковскую цепь с п состояниями <т,-
(например, в форме п целых чисел), обнаруживаемых при последовательных
измерениях. Измерения производятся на каждом из п элементов разбиения
пространства состояний, в котором находится аттрактор. Появление
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
395
очередного символа/состояния стохастически зависит от т предыдущих
символов/состояний - процесс т-го порядка. Наш первый вопрос состоит в
следующем: каково среднее количество информации на один символ,
производимое таким марковским источником? Ясно, что ответ на него должен
