Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 139

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 187 >> Следующая

множества.
В случае черно-белого симметричного канторовского множества обе
размерности D, и DF были бы равны log22/log23. Если мы перейдем к
асимметричному канторовскому множеству (чтобы приблизиться к более
реалистическим случаям, например к
МП
Рис. 6.25. Последовательные приближения к асимметричному канторовскому
множеству, образующиеся при выбрасывании третьей четверти каждого куска.
(По работе [6.14].)
логистическому отображению), то вычисления становятся более сложными
[6.14].
Идея состоит в том, чтобы оценить, как симметрия в расположении элементов
множества может влиять на информа-ционнную и (фрактальную) размерность.
Начав, как обычно, с интервала [0, 1], мы выбросим на этот раз интервал
[1/2, 3/4], т. е. третью четверть (рис. 6.25). На следующем шаге мы
выбросим третью четверть каждого из оставшихся интервалов
374
Глава 6
и т. д. В пределе мы получим асимметричное канторовское мно-. жество с
фрактальной размерностью
log23
D,
log2 4
0,792.
(6.4.31)
Но для того, чтобы оценить информационную размерность, метрических
свойств множества, использованного выше при вычислении Df, недостаточно:
необходимо также задать на элементах этого множества некоторое априорное
распределение плотности вероятности. Зададим на точках множества,
изображенного на рис. 6.26, кусочнопостоянную плотность вероятности, тем
самым сделав его не только асимметричным, но и серым.
Чтобы вычислить информационную размерность, разобьем интервал [0,1]
последовательно на 2п частей. С каждым разбиением наша разрешающая
способность удваивается (е заменяется е/2), а асимметрия множества
приводит к тому, что соседним участкам соответствуют различные
вероятности. Вычисления оказываются довольно сложными, так как трудно
найти закон, по которому подобно преобразуется функция плотности
вероятности при все большем разрешении, и мы отсылаем читателя за
подробностями к оригинальной работе Фармера [6.14]. Приведем лишь
результат:
Рис. 6.26. Последовательные итерации кусочно-постоянной Р(х). (По работе
[6.14].)
0,6887 [бит]. (6.4.32)
Вычисление информационной размерности логистического отображения еще
более сложно, если мы примем во внимание тонкую динамику (каскады
бифуркаций типа двузубой вилки, сопровождающихся удвоением периода),
через которую осуществляется разбиение множества. Результаты вычислений
при каж-
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
375
дом значении управляющего параметра а оказываются различными и используют
коэффициент подобия Фейгенбаума.
При а" 3,57 (первая точка накопления) фрактальная размерность была
вычислена Грассбергером [6.16] и оказалась равной DF ~ 0,530 битов.
Вычисления информационной размерности никем не производились.
При а = 3,7 информационную размерность вычислил Фармер [6.14]: Di = 1
бит. И в этом случае вычисления очень сложны, так как функцию плотности
вероятности приходится вычислять при каждой итерации с помощью весьма
непростого рекуррентного соотношения, приведенного в [6.14]. Подробности
вычислений мы не приводим, так как они увели бы нас в сторону от основной
темы.
6.4.2. Понятие характеристического показателя Ляпунова и его связь с
информационной размерностью
Мы уже отметили, что основная трудность при вычислении информационной
размерности связана с функцией плотности вероятности и, в частности, с
законом, по которому она преобразуется, когда разрешение неограниченно
возрастает. Например, для логистического отображения плотность
вероятности вычисляется из рекуррентного соотношения
где xi - прообраз точки х при (п-1 )-й итерации отображения F.
Итак, трудность вычислений по существу проистекает из того, что якобиан
или определитель отображения (или аттрактор в целом) не постоянен, т. е.
изменяется в зависимости от номера итерации. Именно это обстоятельство
является основной причиной, по которой информационная и фрактальная
размерность не совпадают.
В свою очередь матрица Якоби связана с свойствами устойчивости
аттрактора, поэтому напрашивается предположение о том, что размерности
странных аттракторов могут быть определены непосредственно из динамики
системы, или в терминах "спектра показателей Ляпунова" аттрактора. (Два
примера, подтверждающих такое предположение, мы привели в разд. 6.4.1.)
Спектр характеристических показателей Ляпунова позволяет качественно
оценить свойства локальной устойчивости аттрактора. Для любой системы
свойства ее локальной устойчивости определяются по ее отклику на малые
возмущения. Динамическая
.->П - 1
(6.4.33)
376
Глава 6
система может быть устойчива относительно возмущений по одним
направлениям и неустойчива относительно возмущений по другим
направлениям. Все возможные возмущения можно исследовать одновременно,
прослеживая эволюцию ансамбля точек, которые первоначально находились в
малой ./V-мерной сфере, где N- размерность пространства состояний,
подмножеством которого является аттрактор.
Итак, представим себе в момент времени t - 0 бесконечно малый шар радиуса
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed