Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 138

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 187 >> Следующая

смысла. Заметим, что Di(e*) гораздо меньше фрактальной размерности Dt,
вычисленной в пределе при е->-0. Дело в том, что величина 7)/(е*) не
относится более к какому-нибудь геометрическому объекту. Она служит для
нас удобной мерой эффективности аттрактора как устройства, производящего
информацию.
Применим теперь формулы (6.4.17) и (6.4.18) к нескольким простым случаям.
а ) Аттрактор Лоренца: х = о (у - х), у = -у -f- гх - хг, г = = ху - bz
(при 6=4, <т= 16 и г " 45,92). С помощью компьютера мы вычислили 7,+ ~
1,5; у~-0,03895; С/(е*) ~3- - 0,72157 ~ 2,28; е* ~ 0,062 и М* ~ 4. Иначе
говоря, оптимальный код, который максимизирует емкость "памяти"
аттрактора
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
371
Лоренца, имеет в длину ~4 бит. Тем не менее сжатие информации достаточно
велико - гораздо больше, чем следует из оценки, вычисляемой из
информационной размерности при е-"-0, С(0) =3 - 2,06 = 0,94.
б) Отображение Бернулли: х' = 2х (mod 1). В этом случае одномерного
отображения (по предположению однородного) число отрезков, покрывающих
единичный отрезок при разрешающей способности е, равно
п(е) ~ In (y) j А+, (6.4.23)
откуда мы получаем
ЛГ + rinfln-) - In Л+1
ci-------------"У---------- (6.4.24)
Условие dCi/de= 0 дает для оптимального разрешения величину
е* ~ ехр [- ехр(1 + In Я+)],
откуда
С7(е') = N - ехр [- (1 + In А,+)]. (6.4.26)
Численные методы дают в этом случае при л+= 2 следующие оценки: С/(е*)
=0,81606; е* = 0,004354 и М* - от 7 до 8 бит.
После этого небольшого отступления приведем в качестве первого примера
информационную размерность симметричного канторовского множества "в серых
тонах". Последнее означает, что вместо выбрасывания средней трети каждого
фрагмента, как мы делали в разд. 6.3.2 при вычислении фрактальной
размерности канторовского множества в связи с логистическим уравнением,
средние трети лишь частично стираются, или, иначе говоря, делаются более
или менее вероятными, чем окружающие их трети фрагментов. Таким образом,
мы пытаемся трактовать канторовское множество как плотность вероятности.
[Такой подход позволяет нам более отчетливо понять, почему в случае
логистического отображения интервал [0, 1] становится множеством типа
канторовского с первой точкой накопления а = 3,57, указывающей конец
каскада бифуркаций типа двузубой вилки, сопровождающихся удвоением
периода.]
При переходе от первой итерации ко второй отображения F(x) орбиты (т. е.
первый предельный цикл с периодом 2) с вероятностью единица занимают
интервал между первыми двумя сателлитами х\' и х", а подотрезки [0, х]']
и [х*', 1], примыкающие к сателлитам соответственно слева и справа,
оказываются пустыми (не содержат ни одной орбиты). Однако при
372
Глава 6
каждой последующей бифуркации типа двузубой вилки, приводящей к удвоению
периода, т. е. к очередной итерации, в среднюю треть возникающих новых
интервалов устойчивые орбиты не заходят (средние трети остаются пустыми),
в то время как в двух примыкающих к середине подынтервалах орбиты по-
прежнему имеются и т. д. (рис. 6.23). В точке накопления а =
= 3,57 мы имеем множество канторовского типа (черно-белое), которое,
однако, асимметрично (подробнее о нем см. в этом разделе ниже). Тем не
менее мы можем указать другие значения управляющего параметра (например,
а = 4), при которых орбиты занимают весь интервал с непрерывной
плотностью вероятности Р(х). В этом случае и фрактальная, и
информационная размерности логистического отображения равны единице.
Начнем с частичного стирания наружных частей и оставления средних частей,
как на рис. 6.24. Пусть вероятность каждой из двух наружных подынтервалов
равна Р0, а вероятность средней части рав-
Рис. 6.23. Разбиение единичного интервала при последовательных
бифуркациях раздвоения приводит (в пределе каскадов удвоения периодов) к
асимметричному канторовскому множеству с фрактальной размерностью --
0,530.
на Рт. Тогда в первом приближении имеем
Р1(х) = {ЗР0, 3Рт, 3Р0}, 1
^ Pi (х) dx - 1,
-Р"
(6.4.27)
(6.4.28)
(6.4.29)
Построим второе приближение Pi(x). Для этого снова разделим каждый
отрезок на три равные части и перераспределим вероятность в каждом из
девяти подынтервалов так, чтобы отношения вероятностей в каждой трети
оставались такими же, как в первом приближении Р\{х) (иначе говоря, мы
пытаемся построить самоподобную функцию плотности вероятности, или
повторяем структуру плотности вероятности при все более высоком
разрешении). Эту процедуру мы повторяем неограниченное число раз.
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
373
Информационная размерность получающегося в результате канторовского
множества равна
- Pm logz-Pw - 2Р0 log2 P0
Dr
log2 3
(6.4.30)
но фрактальная размерность DF= 1 бит, так как функция плотности
вероятности отлична от нуля на всем интервале.
Р,(х
Рис. 6.24. Первые два шага каскада преобразований подобия плотности
вероятности при построении симметричного "серого" канторовского
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed